Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1. Функция называется бесконечно малой функцией (бесконечно малой) при , если .

Определение 2. Функция называется бесконечно большой функцией (бесконечно большой) при , если .

Следствие. Функция при бесконечно малая, а - бесконечно большая.

Определение 3. Функции и называется бесконечно малыми одного порядка малости при , если , причем .

Определение 4. Функции и называется эквивалентными бесконечно малыми при , если .

Определение 5. Функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем , при , если .

Известны следующие свойства бесконечно малых.

1. Сумма конечного числа бесконечно малых – бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой и конечной величины – величина бесконечно малая.

3. Произведение бесконечно малых – бесконечно малая.

Свойства пределов функций

1. Предел постоянной равен самой постоянной. Это свойство следует из определения предела.

2. Постоянную можно выносить за знак предела.

.

3. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если они существуют.

.

4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если они существуют.

5. Предел отношения двух функций: , если оба предела существуют и .

6. Если , то .

7. Если и , то . (Теорема о двух полицейских).

Первый замечательный предел

Докажем, что справедлива формула:

.

Прежде всего, заметим, что вследствие нечетности функции отношение при , близком к 0, положительно при любом знаке . Достаточно предположить, что приближается к 0, оставаясь положительным. В противном случае мы сменим знак , что не повлияет на результат. Используем геометрическое доказательство. Рассмотрим сектор круга радиуса 1 с углом при вершине, равным . BM – дуга граничной окружности сектора, A – его вершина, AB = AM = 1. BD – отрезок касательной к дуге BM в точке B. BC – перпендикуляр, опущенный из точки B на отрезок AM.

В силу последовательной вложимости друг в друга треугольника ABM, сектора ABM и треугольника ABD соответствующие соотношения имеют место между площадями этих фигур: . Имеем . Поэтому получаем неравенство . Если мы поделим все части этого неравенства на , то в силу предположения о знаке знаки неравенства не изменятся. Поэтому мы имеем . А теперь устремим к нулю и применим теорему о двух полицейских. Мы получим . Осталось применить свойство 5) пределов для получения предела обратной величины: .

Второй замечательный предел и его следствия

Справедливы следующие формулы, называемые вторым замечательным пределом:

Равносильность этих формул следует из связи переменных: .

Мы получали число Непера из подобной формулы, где была последовательность, а не функция. Заметим, что здесь в первой из приведенных формул переменная может стремиться как к , так и к , а также может просто расти по абсолютной величине, меняя знак произвольно. Приведенная формула имеет следующие следствия.

1. Если мы формально прологарифмируем вторую из приведенных формул, мы получим 1-е следствие второго замечательного предела:

.

2. Другим следствие второго замечательного предела является предел, получаемый из предыдущего заменой :

.

3. Рассмотрим теперь предел . Сделаем замену . При такой замене тогда и только тогда, когда . Получим