11.1.Формирование умения решать задачи рассматриваемого вида.

Рассмотрим методику работы на третьей ступени обучения решению задач отдельного вида, цель которой — сформировать у учащихся умение решать задачи с определенной связью между данными и искомым. Иными словами, надо добиться, чтобы ученик обобщил способ решения и умел решить любую задачу рассматриваемого вида.

Работа над обобщением способа решения задач отдельного вида не должна подменяться работой по запоминанию способа решения, в результате которой ученик узнает задачу знакомого вида и вспоминает порядок выполнения действий при ее решении: сначала сложу, потом разделю... и т. д. Все усилия ученика должны быть направлены на раскрытие соответствующих связей между данными и искомым, на основе чего он будет выбирать соответствующие арифметические действия.

Раскроем методические приемы, помогающие детям прийти к обобщению.

Для правильного обобщения способа решения задач определенного вида большое значение имеет система подбора расположения задач. Система должна удовлетворять определенным требованиям.

Прежде всего задачи должны постепенно усложняться. Усложнение может идти как путем увеличения числа действий, которыми решается задача, так и путем включения новых связей между данными и искомым. Например, после ознакомления с задачей на нахождение четвертого пропорционального с величинами: цена, количество, стоимость — включ.з-чи, которые решаются более чем двумя действиями.

Одним из важных условий для правильного обобщения мл.шк-ми способа решения задач определенного вида является решение достаточного числа их. Однако задачи рассматриваемого вида должны включаться не подряд, а рассредоточено: сначала включаются чаще, а потом все реже и реже, в перемежении с другими видами. Это необх. для того, чтобы предупредить запоминание способа решения.

Обобщению способа решения способствует включение задач с буквенными данными.

Выработке умения решать задачи нового вида помогают упражнения на сравнение решений задач этого вида и ранее рассмотренных видов, но сходных в каком-то отношении с задачами нового вида. Такие упражнения предупреждают смешение способов решения задач этих видов. Например, следует проводить сравнение задач на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц, сформулированных в прямой и косвенной форме. С этой целью надо включать задачи парами:

1) Неизвестное число больше, чем 15, на 8. Найти неизвестное число.

2) 12 больше неизвестного числа на 7. Найти неизвестное число.

После решения этих задач выясняется, почему они решаются разными действиями, хотя в каждой из них говорится «больше... на». Ученики должны ответить, что во второй задаче говорится, что 12 больше, чем неизвестное число, на 7, значит, неизвестное число будет меньше, чем 12, на 7, и задачу надо решать действием вычитания.

На этой третьей ступени иначе строится и методика работы над отдельной задачей.

Надо иметь в виду, что овладение умением решать задачи определенного вида наступает не у всех детей одновременно.

Так одна группа детей уже на первом уроке, предназначенном для обобщения способа решения задач рассматриваемого вида, может, читая задачу, сразу же установить соответствующие связи и правильно выбрать действия. Другая группа детей решит задачу после того, как выполнит краткую запись или чертеж, т. е. некоторые дети еще нуждаются в конкретизации условия задачи. В это же время третья группа детей может решить задачу только после соответствующего разбора под руководством учителя.

Учитывая это, важно создать такие условия, при которых каждый из детей будет работать в меру своих возможностей. Это достигается путем предъявления различных требований к разным группам учащихся. Практически такой дифференцированный подход реализуется по-разному.

Например, можно всем детям предложить прочитать одну и ту же задачу, затем спросить, кто из них может сам решить задачу. Тем ученикам, которые знают, как решить задачу, предлагается выполнить решение самостоятельно, а остальным записать задачу кратко, сделать рисунок или чертеж; после этого опять-таки надо спросить, кто теперь знает, как решить задачу. Еще часть детей включается в самостоятельное решение задачи. С остальными учащимися выполнить разбор коллективно, после чего предложить самостоятельно записать решение. Ученики, справившиеся с решением раньше других, получают дополнительные задания.

Возможен и такой вариант: для самостоятельной работы предлагается несколько задач рассматриваемого вида, но разной трудности, причем задачи подбираются с таким расчетом, чтобы каждый ученик мог решить легкую задачу, что служило бы подготовкой к самостоятельному решению более трудной задачи. Например, предлагается такая пара задач:

1) С трех яблонь собрали 310 кг яблок. С первой яблони 120 кг, а со второй 90 кг. Сколько кг яблок собрали с третьей яблони?

2) С трех яблонь собрали 280 кг яблок. С первой яблони 96 кг, а со второй 3/4 того, что собрали с первой. Сколько килограммов яблок собрали с третьей яблони?

Учитель говорит детям, что вторая задача труднее первой, но можно всем попробовать ее решить; те дети, которые не смогут решить эту задачу, пусть сначала решат первую, а потом им легко будет решить и вторую.

Полезно время от времени в целях обобщения способа решения задачи проводить элементарное исследование решения задач как с буквенными, так и с числовыми данными. Это установление условий, при которых задача имеет или не имеет решения, имеет одно или несколько решений, а также установление условий изменения значения одной величины в зависимости от изменения другой.

Пусть требуется решить задачу: «Сестра прочитала за месяц а книг, а брат на с книг меньше. Сколько книг прочитал брат?» По задаче ученики записывают выражение а — с. Какое выражение получено? (Разность.) Какие значения можно придать букве а? (Больше, чем букве с, или равные с, потому что уменьшаемое должно быть больше вычитаемого или равняться ему.) Что еще надо учитывать? (Надо подобрать такие значения, которые бывают в жизни: за месяц можно прочитать примерно 10 книг или меньше.)

Придавая буквам различные значения, дети убеждаются, что все задачи, отличающиеся только числовыми данными, решаются одним и тем же действием. В этом и состоит обобщение способа решения. Кроме того, сравнив полученные числовые выражения, учащиеся могут пронаблюдать, в каких случаях число книг, прочитанных братом, будет увеличиваться, а в каких уменьшаться.

Рассмотрим задачу с числовыми данными. Например, дети решили задачу: «Из Москвы и Ленинграда одновременно навстречу друг другу вышли два скорых поезда. Скорость московского поезда 112 км в час, а ленинградского 105 км в час. Расстояние от Москвы до Ленинграда 651 км. Какое расстояние пройдет каждый поезд до встречи?» После решения задачи целесообразно провести такую беседу:

При каких условиях поезда могли встретиться на середине пути. (Если бы они шли с одинаковой скоростью или если бы ленинградский поезд вышел раньше московского.) При каких условиях поезда могли встретиться ближе к Москве? (Если бы московский поезд шел с меньшей скоростью, чем ленинградский, или если бы московский поезд вышел позднее ленинградского.) Если после встречи поезда продолжат свой путь, то который из них затратит больше времени для прохождения остального пути? (Ленинградский, потому что скорость у него меньше, а путь надо пройти больше, чем московскому поезду.) При каких условиях в этом случае поезда затратили бы одинаковое время на прохождение оставшегося пути? (Если бы ленинградский поезд пошел со скоростью московского, а московский со скоростью ленинградского, или если бы ленинградский увеличил скорость, или если бы московский уменьшил скорость.)

Такие вопросы могут ставить и сами дети.

Выработке умения решать задачи рассматриваемого вида помогают так называемые упражнения творческого характера. К ним относятся: решение задач повышенной трудности, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, решение задач, имеющих несколько решений, а также упражнения в составлении и преобразовании задач.

К задачам повышенной трудности относят такие задачи, в которых связи между данными и искомым выражены необычно. Например: «У Пети было три куска проволоки, причем второй кусок длиннее первого на 2 м, а третий длиннее второго на 3 м. На сколько метров длиннее третий кусок, чем первый?» Эта задача на нахождение суммы двух чисел, но каждое слагаемое является разностью.

Решение задач повышенной трудности помогает выработать у детей привычку вдумчиво относиться к содержанию задачи и разносторонне осмысливать связи между данными и искомым. Задачи повышенной трудности следует предлагать в любом классе, имея в виду одно условие; детям должно быть известно решение обычных задач, к которым сводится решение предлагаемой задачи повышенной трудности.

Многие задачи могут быть решены различными способами. Поиск различных способов решения приводит детей к «открытию» новых связей между данными и искомым, а также к использованию уже известных связей, но в новых условиях, это и ведет к обобщению способа решения. Например, предлагается задача: «Туристы отправились в поход на лодках. По течению реки они шли на весельных лодках со скоростью 6 км в час и были в пути 15 ч, а возвращались на моторных лодках со скоростью 18 км в час. Сколько времени затратили туристы на обратный путь?»

Учащиеся III класса могут составить такие уравнения:

1) x = (6 · 15) : 18

2) 6 · 15 = 18 · х

3) (6 · 15) : х = 18 и др.

Решение задач различными способами во многих случаях помогает детям усвоить свойства арифметических действий и вместе с тем приводит их к мысли, что в основе разных способов лежит использование того или другого свойства. Например, предлагается задача: «Одна доярка надоила утром 114 л молока, а другая 152 л. Это молоко разлили в бидоны, по 38 л в каждый. Сколько потребовалось бидонов?» Учащиеся, исходя из конкретной ситуации, решают задачу двумя способами:

1) (114 + 152) : 38 = 7 2) 114 : 38 + 152 : 38 = 7

Сравнив эти способы, они видят, что в первом случае сумму двух чисел разделили на число, а во втором каждое слагаемое разделили на число и полученные частные сложили.

Таким образом, учащиеся еще раз убеждаются, что делить сумму на число можно разными способами, тем самым они лучше усваивают свойство и осознают, что это свойство лежит в основе разных способов решения задачи.

Работа над задачами с недостающими и лишними данными воспитывает у детей привычку лучше осмысливать связи между данными и искомым.

Рассмотрим примеры таких упражнений.

Учащимся предлагается решить задачу: «Покупательница попросила взвесить две селедки. Весы показали 380 г; тогда она попросила одну из селедок заменить большей; теперь весы показали 420 г. Сколько весила каждая из трех селедок?» Ознакомившись с содержанием задачи, учащиеся устанавливают, что можно найти по данным условиям, а также обнаруживают, что для решения задачи не хватает данных. Учитель предлагает дополнить задачу такими условиями, чтобы можно было ответить на вопрос задачи. Ученики могут назвать условия: известен вес одной из селедок, известен вес всех трех селедок вместе, известно, что две первые селедки весили поровну, и т. д. Таким образом, получится несколько различных задач, решение которых весьма полезно, так как каждый раз требуется устанавливать новые связи между одними и теми же данными и искомым.

Решение задач с недостающими данными используется также в целях подготовки к решению составных задач.

Рассмотрим работу над задачей с лишними данными: «В трех классах школы 96 учеников. В I классе 28 учеников, а во II на 5 учеников больше, чем в I, и на 2 ученика меньше, чем в III. Сколько учеников в III классе?» Сначала устанавливают, а потом исключают лишнее данное: либо «96 учеников», либо «во II классе на 2 ученика меньше, чем в III». Получаются две различные задачи, которые дети решают самостоятельно. Заметим, что после исключения лишнего данного должна получиться такая задача, которую дети могут решить.

Полезно включать и решение задач, имеющих несколько решений. Решение таких задач будет способствовать формированию понятия переменной. Например, рассматривается задача: «В двух стопках 8 тетрадей. Сколько может быть тетрадей в каждой стопке?» Решениями здесь будут все пары целых неотрицательных чисел, сумма которых равна 8; их можно записать в таблице:

I	8	7	6	5	4	3	2	1	0
II	0	1	2	3	4	5	6	7	8
всего	8	8	8	8	8	8	8	8	8

Дети при этом наблюдают, что каждая величина принимает различные значения и что число тетрадей в первой стопке уменьшалось на 1, во второй — увеличивалось на 1, а общее число не изменялось.

Упражнения по составлению и преобразованию задач являются чрезвычайно эффективными для обобщения способа их решения.

Рассмотрим некоторые виды упражнений по составлению и преобразованию задач.

1) Постановка вопроса к данному условию задачи или изменение данного вопроса.

Такие упражнения помогают обобщению знаний о связях между данными и искомым, так как при этом дети устанавливают, что можно узнать по определенным данным. Например, учащимся предлагается поставить различные вопросы к условию задачи: «В одной коробке 48 карандашей, в другой 12 карандашей». Учащиеся могут поставить такие вопросы:

Сколько карандашей в двух коробках?

На сколько карандашей больше (меньше) в одной коробке, чем в другой?

Во сколько раз больше (меньше) карандашей в одной коробке, чем в другой?

Сколько карандашей надо переложить из первой коробки во вторую, чтобы в обеих коробках карандашей было поровну?

И т. д.

Во многих случаях целесообразно вводить некоторые ограничения. Например, предлагается поставить вопрос так, чтобы задача решалась одним действием, двумя действиями и т. д., или чтобы спрашивалось о скорости, о цене и т. п., или чтобы задача решалась указанным действием.

После решения некоторых задач полезно предложить детям изменить вопрос задачи. Например, пусть ученики решили задачу: «Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из Москвы и Киева. Московский поезд проходил 68 км в час, а киевский 75 км в час. Через сколько часов поезда встретятся, если расстояние от Москвы до Киева 858 км?» После решения задачи можно предложить изменить вопрос так, чтобы спрашивалось о расстоянии. Учащиеся могут поставить такие вопросы:

На каком расстоянии от Москвы (от Киева) произошла встреча?

Какое расстояние прошел каждый поезд до встречи?

Какое расстояние надо пройти каждому поезду после встречи до места назначения?

На сколько километров больше прошел до встречи киевский поезд. И т. д.

2) Составление условия задачи по данному вопросу.

При выполнении таких упражнений учащиеся устанавливают, какие данные надо иметь, чтобы найти искомое, а это также приводит к обобщению знания связей между данными и

искомым. Например, дается задание составить условие задачи с вопросом: «Сколько ведер воды в двух бочках?» Дети устанавливают, что в условии может быть дано число ведер воды в каждой бочке или число ведер воды в одной из бочек разность или отношение между числом ведер в первой и второй бочках и т. п. Каждую из составленных задач учащиеся решают самостоятельно.

Следует ставить вопросы в этих случаях и так, чтобы для составления задач нужно было выполнить некоторые практические работы: составьте задачу, в которой надо узнать площадь пола вашей комнаты или сколько потребуется краски, чтобы выкрасить пол в нашем классе, и т. п.

3) Подбор числовых данных или их изменение.

Эти упражнения служат главным образом целям знакомства учащихся с реальными количественными отношениями. Например, учащимся предлагается полный текст задачи с пропущенными данными: «На ... одинаковых платьев пошло ... метров материи. Сколько таких же платьев можно сшить из ... метров такой же материи?» Учащиеся устанавливают какие числовые данные можно задать сразу, а какие получить путем вычисления: сразу можно задать число платьев, а число метров материи, которое израсходовали, надо получить путем вычисления, имея в виду еще одно число, которое в задачу не включается - число метров материи, расходуемое на одно платье.

Особый интерес представляют упражнения: на замену некоторых числовых данных, другими, но так, чтобы задачу можно было решить каким-то другим способом. Например, учащиеся решили задачу: «В магазине продали течение дня 8 пальто по 53 руб. и 7 плащей по 45 руб. Сколько денег выручил магазин за эти вещи?» После решения этой задачи учитель предлагает изменить числовые данные так, чтобы задача решалась другим способом. Учащиеся должны предложить задать равными или число проданных пальто и плащей, или их цену. Задача с измененными данными решается другим способом.

Полезно включать задания на изменение числовых данных так, чтобы искомое число увеличивалось или уменьшалось.

4) Составление задач по аналогии.

Аналогичными называются задачи, имеющие одинаковую математическую структуру.

Составление учащимися аналогичных задач помогает установлению общих связей между данными и искомым при разных жизненных ситуациях. Аналогичные задачи надо составлять после решения данной готовой задачи, предлагая при этом, когда возможно, изменять не только сюжет и числа, но и величины. Если, например, учащиеся III класса решили задачу с величинами: цена, количество, стоимость, можно предложить составить такую же (похожую) задачу, но с величинами: скорость, время, расстояние.

5) Составление обратных задач.

Упражнения в составлении и решении обратных задач помогают усвоению связей между величинами.

Обратные задачи можно составлять как по отношению к данной простой, так и к составной задаче, при этом можно составить одну или несколько обратных задач в зависимости от целей этого вида работы. Однако учителю всегда следует проверить, посильна ли детям обратная задача. Составление обратных задач следует связывать с проверкой решения задач.

6) Составление задач по их иллюстрациям.

Полезными являются упражнения на составление задач по данной картинке, чертежу или краткой записи. Они помогают детям увидеть задачу в данной конкретной ситуации.

Прежде чем предлагать детям составить задачу по той или иной иллюстрации, надо проанализировать эту иллюстрацию, т. е. провести беседу и выяснить, понимают ли дети, что изображено, что обозначают числа, что надо узнать и т. д.

7) Составление задач по данному решению.

Формированию умения решать задачи помогают упражнения, которые можно назвать обратными по отношению к решению задач; это воспроизведение задачи по ее решению.

Решение может быть дано в любой форме: отдельными действиями, выражением или уравнением как с записью пояснений, так и без них. При этом решение может содержать как одно действие, так и несколько, может быть записано не только с помощью цифр, но и с помощью букв.

Предлагая составить задачу, надо сначала проанализировать данное решение задачи. В отдельных случаях целесообразно подсказать детям сюжет или же назвать величины. Например, учитель предлагает учащимся III класса составить задачу с величинами: скорость, время, расстояние по данному выражению: (12 : 3) · 2.

Какое действие здесь выполнено первым? (Деление.) А затем? (Умножение.) Надо составить по этому выражению задачу с величинами: скорость, время, расстояние. Что узнаем, когда выполним умножение? (Расстояние.) Значит, что обозначает число 2? (Время движения.) А что обозначает выражение 12 : 3? (Скорость.) Если это выражение обозначает скорость, то что показывает каждое число? (12 — пройденное расстояние, а 3— время движения.) Составьте задачу.

Дети могут составить такую, например, задачу: «Пешеход, двигаясь с одинаковой скоростью, прошел за 3 ч 12 км. Какое расстояние пройдет пешеход с такой же скоростью за 2 ч?»

Можно предлагать составлять задачи по указанным действиям. Например, учитель предлагает составить задачу, при решении которой надо выполнить действие умножения, или составить задачу, при решения которой надо сначала выполнить действие сложения, а потом деление.

8) Преобразование данных задач в задачи родственных им видов.

К задачам родственных видов относятся задачи, в которых величины связаны одинаковой зависимостью. Так, родственными будут задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление и на нахождение неизвестных по двум разностям, так как в них величины связаны пропорциональной зависимостью. Можно одну задачу преобразовать в другую родственного вида путем выполнения арифметических действий над числовыми значениями величин. В результате такого преобразования и сравнения способов решения задач родственных видов приведем детей к обобщению способов решения этих задач.