- •Практикум по аналитической геометрии
- •Тема 4. Понятие вектора. Действия с векторами. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Понятие вектора
- •Координаты вектора на плоскости и в пространстве
- •Простейшие задачи Как найти вектор по двум точкам?
- •Как найти длину отрезка?
- •Действия с векторами в координатах
- •Скалярное произведение векторов
- •Угол между векторами и значение скалярного произведения
- •Скалярный квадрат вектора Что будет, если вектор умножить на самого себя?
- •Угол между векторами
- •Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе
- •Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения
- •Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами
- •Проекция вектора на вектор
- •Проекция вектора на координатные оси. Направляющие косинусы вектора
- •Векторное произведение векторов
- •Векторное произведение векторов в координатах
- •Смешанное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Определение. Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке, называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:
Векторы взяты в строго определённом порядке:
Результатом умножения векторов является ВЕКТОР
если , то .
Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:
Пример
Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если
Ответ:
Векторное произведение векторов в координатах
Векторное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой:
Пример
Даны вершины треугольника . Найти его площадь.
Решение: Найдём векторы:
Затем векторное произведение:
Вычислим его длину:
Ответ:
Смешанное произведение векторов
Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов:
Определение: Смешанным произведением некомпланарных векторов ,взятых в данном порядке, называется объём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.
Выполним рисунок.
Смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ.
Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус.
В курсе аналитической геометрии доказано, что объём тетраэдра (на рисунке отсечён «синей» плоскостью) равен одной шестой объёма параллелепипеда:
В теории и практике тетраэдр часто называют треугольной пирамидой, поскольку все грани тетраэдра – треугольники.
Смешанное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе правой ориентации, выражается формулой:
Пример
Вычислить объём треугольной пирамиды, если даны её вершины
Решение: Сначала найдём векторы:
Вычислим смешанное произведение: (Определитель раскрыт по первой строке)
Вычислим объём треугольной пирамиды :
Ответ: