Проекция вектора на вектор

Рассмотрим векторы   и  : Спроецируем вектор   на вектор  , для этого из начала и конца вектора   опустим перпендикуляры на вектор   (пунктирные линии). В данном случае проекцией вектора    на вектор   является ДЛИНА отрезка  . То есть, ПРОЕКЦИЯ – ЭТО ЧИСЛО.

Данное ЧИСЛО обозначается следующим образом:  , «большим вектором» обозначают вектор, КОТОРЫЙ проецируют, «маленьким подстрочным вектором» обозначают вектор НА который проецируют.  

Сама запись   читается так: «проекция вектора «а» на вектор «бэ»».

Что произойдёт, если вектор «бэ» будет «слишком коротким»? Проводим прямую линию, содержащую вектор «бэ». И вектор «а» будет проецироваться уже на направление вектора «бэ», попросту – на прямую, содержащую вектор «бэ». То же самое произойдёт, если вектор «а» отложить в тридесятом царстве – он всё равно легко спроецируется на прямую, содержащую вектор «бэ».

Если угол между векторами   острый (как на рисунке), то 

Если векторы   ортогональны, то   (проекцией является точка, размеры которой считаются нулевыми).

Если угол между векторами   тупой (на рисунке мысленно переставьте стрелочку вектора  ), то   (та же длина, но взятая со знаком минус).

Отложим данные векторы от одной точки:

Очевидно, что при перемещении вектора его проекция не меняется

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. В данном случае:

С другой стороны, у нас уже получена формула косинуса угла между векторами:

Таким образом:

Сокращаем знаменатели обеих частей на   и получаем формулу для вычисления проекции:

Формула выведена, распишем её в координатах:

Если векторы плоскости   и  , заданы в ортонормированном базисе  , то проекция вектора   на вектор   выражается формулой: .

Если векторы пространства  , заданы в ортонормированном базисе  , то проекция вектора   на вектор   выражается формулой:

Пример

Найти проекцию вектора   на вектор 

Решение:

Ответ: 

Проекция вектора на координатные оси. Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим вектор плоскости  , заданный своими координатами в ортонормированном базисе  .

Проекцией вектора   на координатную ось   является в точности его первая координата:   . Обозначим через   угол между вектором   и координатным вектором  :   . Тогда:  (определение косинуса в прямоугольном треугольнике недавно упоминалось).

Аналогично со второй координатой: проекцией вектора   на координатную ось   является его вторая координата:   . Обозначим через   угол между вектором   и координатным вектором  :   . Тогда:

Косинусы   называются направляющими косинусами вектора. Причём, для любого ненулевого вектора справедливо равенство  . Проверим его справедливость для рассматриваемого вектора: , что и требовалось проверить.

Заметьте, что приведённые выше выкладки не изменятся, если вектор   отложить от любой другой точки плоскости.

Координаты вектора в ортонормированном базисе – это его проекции на направления соответствующих координатных векторов (координатные оси).

Направляющие косинусы ненулевого вектора  , заданного в ортонормированном базисе  , выражаются формулами  , а сами координаты вектора можно выразить через его длину и данные косинусы:  , то есть:  .

С пространственными векторами, заданными в ортонормированном базисе  ,  разборки точно такие же. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор  . Его координаты представляют собой проекции вектора на оси   соответственно. Обозначим углы данного вектора с ортами через:  . Тогда направляющие косинусы вектора выражаются формулами:  , и справедливым является равенство  .

Пример

Найти направляющие косинусы векторов: а)  , проверить, что  ; б)  , проверить, что  .

Решение:  а) Найдём длину вектора:  . Направляющие косинусы:  . Проверка:  , что и требовалось проверить. б) Найдём длину вектора:  . Направляющие косинусы:  . Проверка:  , что и требовалось проверить.

Ответ: