Угол между векторами

Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.

.

Пример

Найти угол между векторами   и  , если известно, что  .

Решение: Используем формулу: На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на  .

Итак, если  , то:

Ответ: 

Не забываем указывать размерность – радианы и градусы.

Пример

Даны   – длины векторов  ,   и угол между ними  . Найти угол между векторами  ,  .

Алгоритм решения:

1) По условию требуется найти угол между векторами   и  , поэтому нужно использовать формулу  .

2) Находим скалярное произведение  .

3) Находим длину вектора   и длину вектора   .

4) Нам известно число  , а значит, легко найти и сам угол: 

Сделайте самостоятельно и сравните с решением.

Решение:  Найдём скалярное произведение: Найдём длину вектора  : Найдём длину вектора  : Таким образом: Ответ: 

Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе

В данном разделе рассматриваются только ортонормированные базисы плоскости и пространства.

Скалярное произведение векторов   и  , заданных в ортонормированном базисе  , выражается формулой 

Скалярное произведение векторов  , заданных в ортонормированном базисе  , выражается формулой 

То есть, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Пример

Найти скалярное произведение векторов: а)   и  б)   и  , если даны точки 

Решение:  а) Здесь даны векторы плоскости. По формуле  :

б) Сначала найдём векторы:   По формуле   вычислим скалярное произведение:

Ответ: 

Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения

Векторы   и   ортогональны тогда и только тогда, когда  . В координатах данный факт запишется следующим образом:  (для векторов плоскости);  (для векторов пространства).

Пример

а) Проверить ортогональность векторов:   и   б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки   и  , если 

Решение:  а) Вычислим их скалярное произведение: , следовательно, 

б) Найдём векторы:

Вычислим их скалярное произведение: , значит, отрезки   и   не перпендикулярны.

Ответ: а)  , б) отрезки   не перпендикулярны.

Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами

Косинус угла между векторами плоскости   и  , заданными в ортонормированном базисе  , выражается формулой: .

Косинус угла между векторами пространства  , заданными в ортонормированном базисе  , выражается формулой: 

Пример

Даны три вершины треугольника  . Найти   (угол при вершине  ).

Решение: 

Требуемый угол   помечен дугой. Угол   треугольника совпадает с углом между векторами   и  , иными словами:  .

Найдём векторы:

Вычислим скалярное произведение:

И длины векторов:

Косинус угла:

Найдём сам угол:

Ответ: