- •Примеры
- •Свойства определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •Свойства обратной матрицы
- •Способы нахождения обратной матрицы
- •Точные (прямые) методы Метод Гаусса—Жордана
- •Ранг матрицы
- •Определение
- •Связанные определения
- •Свойства
- •Линейное преобразование и ранг матрицы
- •Система линейных алгебраических уравнений
- •Пример решения неоднородной слау
- •Описание метода
- •Определения Алгебраический подход
- •Геометрический подход
- •Свободные, скользящие и фиксированные векторы
- •Вектор как последовательность
- •Обозначения
- •Связанные определения
- •Линейные операции над векторами Сложение векторов
- •Сложение коллинеарных скользящих векторов
- •Произведение вектора на число
- •Скалярное произведение
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
Определение
Пусть — прямоугольная матрица.
Тогда по определению рангом матрицы A является:
ноль, если A — нулевая матрица;
число , где Mr — минор матрицы A порядка r, а Mr + 1 — окаймляющий к нему минор порядка (r + 1), если они существуют.
-
Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы порядка k равны нулю (Mk = 0). Тогда , если они существуют.
Связанные определения
Ранг матрицы M размера называют полным, если .
Базисный минор матрицы A — любой ненулевой минор матрицы A порядка r, где .
Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)
Свойства
Теорема (о базисном миноре): Пусть — базисный минор матрицы A, тогда:
базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
Следствия:
Если ранг матрицы равен r, то любые p:p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
Если A — квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.
Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если , то их ранги равны.