ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА»
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Кафедра высшей математики
РГР-1
Вариант №20
Выполнил: Серпуховитов Сергей
Группа 522
Проверил: Бушков С.В.
Самара 2012
Метод последовательных приближений
Найти приближенное
решение задачи Коши
,
, взяв три первых приближения не считая
нулевого:
(нулевой шаг). Нулевым приближением считаем
Первое приближение
Второе приближение
=
Третье приближение
Составим таблицу
значений для
и построим по точкам график приближенного
решения на отрезке [-1;-0,5].
x |
y |
-1 |
1 |
-0,975 |
1,011825 |
-0,95 |
1,022673 |
-0,925 |
1,034067 |
-0,9 |
1,04603 |
-0,875 |
1,058582 |
-0,85 |
1,071744 |
-0,825 |
1,085537 |
-0,8 |
1,099982 |
-0,775 |
1,1151 |
-0,75 |
1,130914 |
-0,725 |
1,147446 |
-0,7 |
1,164719 |
-0,675 |
1,182757 |
-0,65 |
1,201585 |
-0,625 |
1,221229 |
-0,6 |
1,241715 |
-0,575 |
1,263071 |
-0,55 |
1,285326 |
-0,525 |
1,308511 |
-0,5 |
1,332656 |
Метод Эйлера с шагом h
Найти приближенное решение дифференциального уравнения
c
начальным условием
на
отрезке
с точностью
.
Выберем шаг
Методом Эйлера найдем приближенные
значения решения при разбиении отрезка
на N
частей. Результаты вычислений оформим
в виде таблицы.
K |
Xk |
Yk |
f(Xk,Yk) |
Yk+1 |
0 |
-1 |
1 |
0,4 |
1,02 |
1 |
-0,95 |
1,02 |
0,44374 |
1,042187 |
2 |
-0,9 |
1,042187 |
0,489692 |
1,066672 |
3 |
-0,85 |
1,066672 |
0,538173 |
1,09358 |
4 |
-0,8 |
1,09358 |
0,589551 |
1,123058 |
5 |
-0,75 |
1,123058 |
0,644255 |
1,155271 |
6 |
-0,7 |
1,155271 |
0,70279 |
1,19041 |
7 |
-0,65 |
1,19041 |
0,765746 |
1,228697 |
8 |
-0,6 |
1,228697 |
0,833818 |
1,270388 |
9 |
-0,55 |
1,270388 |
0,907832 |
1,31578 |
10 |
-0,5 |
1,31578 |
0,988766 |
|
Разбиваем отрезок 2N=20 частей и выполняем те же вычисления с шагом h=0,025. Заполним таблицу.
K |
Xk |
Yk |
f(Xk,Yk) |
Yk+1 |
0 |
-1 |
1,00 |
1,4 |
1,01 |
1 |
-0,975 |
1,01 |
0,421935 |
1,020548 |
2 |
-0,95 |
1,02 |
0,444411 |
1,031659 |
3 |
-0,925 |
1,03 |
0,467467 |
1,043345 |
4 |
-0,9 |
1,04 |
0,491142 |
1,055624 |
5 |
-0,875 |
1,06 |
0,51548 |
1,068511 |
6 |
-0,85 |
1,07 |
0,540529 |
1,082024 |
7 |
-0,825 |
1,08 |
0,566341 |
1,096183 |
8 |
-0,8 |
1,10 |
0,59297 |
1,111007 |
9 |
-0,775 |
1,11 |
0,620477 |
1,126519 |
10 |
-0,75 |
1,13 |
0,648927 |
1,142742 |
11 |
-0,725 |
1,14 |
0,678391 |
1,159702 |
12 |
-0,7 |
1,16 |
0,708945 |
1,177425 |
13 |
-0,675 |
1,18 |
0,740673 |
1,195942 |
14 |
-0,65 |
1,20 |
0,773667 |
1,215284 |
15 |
-0,625 |
1,22 |
0,808024 |
1,235484 |
16 |
-0,6 |
1,24 |
0,843853 |
1,256581 |
17 |
-0,575 |
1,26 |
0,881272 |
1,278613 |
18 |
-0,55 |
1,28 |
0,92041 |
1,301623 |
19 |
-0,525 |
1,30 |
0,961408 |
1,325658 |
20 |
-0,5 |
1,33 |
1,004422 |
|
Для проверки точности по правилу Рунге заполняем таблицу 3:
Xk |
Y(N)Xk |
Y(2N)Xk |
1/3|Y(N)Xk-Y(2N)Xk| |
-0,95 |
1,02 |
1,020548 |
0,000182792 |
-0,9 |
1,042187 |
1,043345 |
0,00038611 |
-0,85 |
1,066672 |
1,068511 |
0,000613087 |
-0,8 |
1,09358 |
1,096183 |
0,000867453 |
-0,75 |
1,123058 |
1,126519 |
0,001153663 |
-0,7 |
1,155271 |
1,159702 |
0,001477052 |
-0,65 |
1,19041 |
1,195942 |
0,001844036 |
-0,6 |
1,228697 |
1,235484 |
0,002262362 |
-0,55 |
1,270388 |
1,278613 |
0,002741434 |
-0,5 |
1,31578 |
1,325658 |
0,003292722 |
Как видно из таблицы 3, для каждого значения xk выполняется условие
.
Построим по точкам график самого
последнего решения (y(2N)(
Xk)
).
Метод Эйлера с итерациями.
Найти приближенное решение дифференциального уравнения
с начальным условием y(-1)=1 на отрезке
с точностью
.
Заполняем таблицу 1 для N=10; h=0,05. Вычисления ведем по формулам
(1) и
(2)
Xk |
Yk |
f(Xk,Yk) |
Y*k+1 |
f(Xk+1,Y*k+1) |
Yk+1 |
Xk |
-1 |
1 |
0,4 |
1,02 |
0,44374 |
1,021094 |
-1 |
-0,95 |
1,021094 |
0,445079 |
1,043347 |
0,49114435 |
1,044499 |
-0,95 |
-0,9 |
1,044499 |
0,492587 |
1,069128 |
0,54132137 |
1,070347 |
-0,9 |
-0,85 |
1,070347 |
0,542885 |
1,097491 |
0,59469198 |
1,098786 |
-0,85 |
-0,8 |
1,098786 |
0,596399 |
1,128606 |
0,65175113 |
1,12999 |
-0,8 |
-0,75 |
1,12999 |
0,653626 |
1,162671 |
0,71308273 |
1,164158 |
-0,75 |
-0,7 |
1,164158 |
0,715158 |
1,199916 |
0,77937847 |
1,201521 |
-0,7 |
-0,65 |
1,201521 |
0,781692 |
1,240606 |
0,85146151 |
1,24235 |
-0,65 |
-0,6 |
1,24235 |
0,85406 |
1,285053 |
0,93031665 |
1,286959 |
-0,6 |
-0,55 |
1,286959 |
0,933259 |
1,333622 |
1,01712906 |
1,335719 |
-0,55 |
-0,5 |
1,335719 |
1,020487 |
|
|
|
-0,5 |
Разбиваем отрезок на 2N=20 частей с шагом h=0,025 и повторяем вычисления по формулам (1),(2). Результат заносим в таблицу 2.
K |
Xk |
Yk |
f(Xk,Yk) |
Y*k+1 |
f(Xk+1,Y*k+1) |
Yk+1 |
0 |
-1 |
1,0000 |
0,4 |
1,01 |
0,421935 |
1,010274 |
1 |
-0,975 |
1,0103 |
0,422267 |
1,020831 |
0,444757401 |
1,021112 |
2 |
-0,95 |
1,0211 |
0,445102 |
1,03224 |
0,468186084 |
1,032528 |
3 |
-0,925 |
1,0325 |
0,468544 |
1,044242 |
0,492264418 |
1,044538 |
4 |
-0,9 |
1,0445 |
0,492636 |
1,056854 |
0,517039348 |
1,057159 |
5 |
-0,875 |
1,0572 |
0,517426 |
1,070095 |
0,542561721 |
1,070409 |
6 |
-0,85 |
1,0704 |
0,542965 |
1,083983 |
0,568886641 |
1,084307 |
7 |
-0,825 |
1,0843 |
0,569308 |
1,09854 |
0,596073869 |
1,098874 |
8 |
-0,8 |
1,0989 |
0,596515 |
1,113787 |
0,624188272 |
1,114133 |
9 |
-0,775 |
1,1141 |
0,624651 |
1,129749 |
0,653300318 |
1,130108 |
10 |
-0,75 |
1,1301 |
0,653786 |
1,146452 |
0,68348664 |
1,146823 |
11 |
-0,725 |
1,1468 |
0,683997 |
1,163923 |
0,714830656 |
1,164309 |
12 |
-0,7 |
1,1643 |
0,715369 |
1,182193 |
0,74742328 |
1,182594 |
13 |
-0,675 |
1,1826 |
0,747992 |
1,201294 |
0,781363712 |
1,201711 |
14 |
-0,65 |
1,2017 |
0,781965 |
1,22126 |
0,816760336 |
1,221695 |
15 |
-0,625 |
1,2217 |
0,817398 |
1,24213 |
0,853731732 |
1,242584 |
16 |
-0,6 |
1,2426 |
0,854409 |
1,263944 |
0,892407821 |
1,264419 |
17 |
-0,575 |
1,2644 |
0,893128 |
1,286747 |
0,932931172 |
1,287245 |
18 |
-0,55 |
1,2872 |
0,9337 |
1,310587 |
0,975458484 |
1,311109 |
19 |
-0,525 |
1,3111 |
0,97628 |
1,335516 |
1,020162276 |
1,336065 |
20 |
-0,5 |
1,3361 |
1,021042 |
|
|
|