РГР №1
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
Васильев Николай
Группа 523
Вариант 4
Задание: Дана функция y’=0,6x-0,5y2 на отрезке [-1;-0,5] c начальным условием . Найдём задачу Коши с помощью 4 методов: метод последовательных приближений, метод Эйлера, метод Эйлера с итерациями, метод Рунге-Кутта 4-го порядка.
Метод последовательных приближений
1)Нулевое приближение y0=y(-1)=1
2)Первое приближение: y1 (x)=1+∫x-1 (0.6x-0.5)dx=0.3x2 -0.5x+0.2
3)Второе приближение: y2(x)=1 + ∫x-1 (0.6x-0.5(0.3x2 -0.5x+0.2)2)dx=-0.009x5+0.0375x4-0.0616667x3+0.35x2 -0.02x+0.52
4)Третье приближение:
y3(x)=1+
∫x-1
(0.6x-0.5(-0.009x5+0.0375x4-0.0616667x3+0.35x2
-0.02x+0.52)
2 )dx=-3.68182*10-6*
+0.00003375
-0.000139792
+0.000682813
-0.00217234
+0.00450495
-0.0164103
+0.00979464
-0.060945
+0.305218
-0.136145
+0,46395
x |
y(x) |
-1 |
1 |
-0,95 |
0,9471 |
-0,9 |
0,898 |
-0,85 |
0,8526 |
-0,8 |
0,8106 |
-0,75 |
0,7716 |
-0,7 |
0,7356 |
-0,65 |
0,7023 |
-0,6 |
0,6715 |
-0,55 |
0,6432 |
-0,5 |
0,6172 |
Метод Эйлера с шагом h.
Поделим заданный отрезок [-1;-0,5] на N=10 с шагом h=0,05 и 2N=20 частей с шагом h/2=0,025. Построим таблицы для метода Эйлера:
1)N=10
|
|
|
|
|
0 |
-1 |
1 |
-1,1 |
0,945 |
1 |
-0,95 |
0,945 |
-1,01651 |
0,894174 |
2 |
-0,9 |
0,894174 |
-0,93977 |
0,847186 |
3 |
-0,85 |
0,847186 |
-0,86886 |
0,803743 |
4 |
-0,8 |
0,803743 |
-0,803 |
0,763593 |
5 |
-0,75 |
0,763593 |
-0,74154 |
0,726516 |
6 |
-0,7 |
0,726516 |
-0,68391 |
0,69232 |
7 |
-0,65 |
0,69232 |
-0,62965 |
0,660837 |
8 |
-0,6 |
0,660837 |
-0,57835 |
0,63192 |
9 |
-0,55 |
0,63192 |
-0,52966 |
0,605437 |
10 |
-0,5 |
0,605437 |
-0,48328 |
0,581273 |
2) 2N=20
|
|
|
|
|
0 |
-1 |
1 |
-1,1 |
0,9725 |
1 |
-0,975 |
0,9725 |
-1,05788 |
0,946053 |
2 |
-0,95 |
0,946053 |
-1,01751 |
0,920615 |
3 |
-0,925 |
0,920615 |
-0,97877 |
0,896146 |
4 |
-0,9 |
0,896146 |
-0,94154 |
0,872608 |
5 |
-0,875 |
0,872608 |
-0,90572 |
0,849965 |
6 |
-0,85 |
0,849965 |
-0,87122 |
0,828184 |
7 |
-0,825 |
0,828184 |
-0,83794 |
0,807236 |
8 |
-0,8 |
0,807236 |
-0,80581 |
0,78709 |
9 |
-0,775 |
0,78709 |
-0,77476 |
0,767721 |
10 |
-0,75 |
0,767721 |
-0,7447 |
0,749104 |
11 |
-0,725 |
0,749104 |
-0,71558 |
0,731214 |
12 |
-0,7 |
0,731214 |
-0,68734 |
0,714031 |
13 |
-0,675 |
0,714031 |
-0,65992 |
0,697533 |
14 |
-0,65 |
0,697533 |
-0,63328 |
0,681701 |
15 |
-0,625 |
0,681701 |
-0,60736 |
0,666517 |
16 |
-0,6 |
0,666517 |
-0,58212 |
0,651964 |
17 |
-0,575 |
0,651964 |
-0,55753 |
0,638026 |
18 |
-0,55 |
0,638026 |
-0,53354 |
0,624687 |
19 |
-0,525 |
0,624687 |
-0,51012 |
0,611934 |
20 |
-0,5 |
0,611934 |
-0,48723 |
0,599754 |
Оценим точность
по правилу Рунге. Точность 
.
|
|
|
|
-1 |
1 |
1 |
0 |
-0,95 |
0,945 |
0,946053 |
0,000351 |
-0,9 |
0,894174 |
0,896146 |
0,000657 |
-0,85 |
0,847186 |
0,849965 |
0,000926 |
-0,8 |
0,803743 |
0,807236 |
0,001164 |
-0,75 |
0,763593 |
0,767721 |
0,001376 |
-0,7 |
0,726516 |
0,731214 |
0,001566 |
-0,65 |
0,69232 |
0,697533 |
0,001738 |
-0,6 |
0,660837 |
0,666517 |
0,001893 |
-0,55 |
0,63192 |
0,638026 |
0,002035 |
-0,5 |
0,605437 |
0,611934 |
0,002166 |
Точность соответствует. По полученным значениям строим график.
Метод Эйлера с итерациями
Поделим заданный отрезок [-1;-0,5] на N=10 с шагом h=0,05 и 2N=20 частей с шагом h/2=0,025. Построим таблицы для метода Эйлера с итерациями:
N=10
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-1 |
1 |
-1,1 |
0,945 |
-1,01651 |
0,947087 |
1 |
-0,95 |
0,947087 |
-1,01849 |
0,896163 |
-0,94155 |
0,898086 |
2 |
-0,9 |
0,898086 |
-0,94328 |
0,850922 |
-0,87203 |
0,852703 |
3 |
-0,85 |
0,852703 |
-0,87355 |
0,809026 |
-0,80726 |
0,810683 |
4 |
-0,8 |
0,810683 |
-0,8086 |
0,770253 |
-0,74664 |
0,771802 |
5 |
-0,75 |
0,771802 |
-0,74784 |
0,73441 |
-0,68968 |
0,735864 |
6 |
-0,7 |
0,735864 |
-0,69075 |
0,701326 |
-0,63593 |
0,702697 |
7 |
-0,65 |
0,702697 |
-0,63689 |
0,670852 |
-0,58502 |
0,672149 |
8 |
-0,6 |
0,672149 |
-0,58589 |
0,642854 |
-0,53663 |
0,644086 |
9 |
-0,55 |
0,644086 |
-0,53742 |
0,617215 |
-0,49048 |
0,618389 |
10 |
-0,5 |
0,618389 |
-0,4912 |
0,593828 |
-0,17632 |
0,601701 |
2)2N=20
|
|
|
|
|
|
|
0 |
-1 |
1 |
-1,1 |
0,9725 |
-1,05788 |
0,973027 |
1 |
-0,975 |
0,973027 |
-1,058390308 |
0,946567 |
-1,01799 |
0,947072 |
2 |
-0,95 |
0,947072 |
-1,018472417 |
0,92161 |
-0,97968 |
0,922095 |
3 |
-0,925 |
0,922095 |
-0,980129392 |
0,897592 |
-0,94284 |
0,898058 |
4 |
-0,9 |
0,898058 |
-0,943253836 |
0,874476 |
-0,90735 |
0,874925 |
5 |
-0,875 |
0,874925 |
-0,907746981 |
0,852231 |
-0,87315 |
0,852664 |
6 |
-0,85 |
0,852664 |
-0,873517876 |
0,830826 |
-0,84014 |
0,831243 |
7 |
-0,825 |
0,831243 |
-0,840482665 |
0,810231 |
-0,80824 |
0,810634 |
8 |
-0,8 |
0,810634 |
-0,808563939 |
0,79042 |
-0,77738 |
0,79081 |
9 |
-0,775 |
0,79081 |
-0,777690165 |
0,771368 |
-0,7475 |
0,771745 |
10 |
-0,75 |
0,771745 |
-0,747795167 |
0,75305 |
-0,71854 |
0,753416 |
11 |
-0,725 |
0,753416 |
-0,718817665 |
0,735445 |
-0,69044 |
0,7358 |
12 |
-0,7 |
0,7358 |
-0,69070086 |
0,718533 |
-0,66314 |
0,718877 |
13 |
-0,675 |
0,718877 |
-0,663392062 |
0,702292 |
-0,63661 |
0,702627 |
14 |
-0,65 |
0,702627 |
-0,636842349 |
0,686706 |
-0,61078 |
0,687032 |
15 |
-0,625 |
0,687032 |
-0,611006269 |
0,671757 |
-0,58563 |
0,672074 |
16 |
-0,6 |
0,672074 |
-0,585841565 |
0,657428 |
-0,56111 |
0,657737 |
17 |
-0,575 |
0,657737 |
-0,561308924 |
0,643704 |
-0,53718 |
0,644006 |
18 |
-0,55 |
0,644006 |
-0,537371756 |
0,630572 |
-0,51381 |
0,630866 |
19 |
-0,525 |
0,630866 |
-0,513995992 |
0,618016 |
-0,49097 |
0,618304 |
20 |
-0,5 |
0,618304 |
-0,491149892 |
0,606025 |
-0,18363 |
0,609869 |
Оценим точность по правилу Рунге. Точность .
|
|
|
|
-1 |
1 |
1 |
0 |
-0,95 |
0,947087 |
0,947072 |
0,00000214 |
-0,9 |
0,898086 |
0,898058 |
0,000004 |
-0,85 |
0,852703 |
0,852664 |
0,00000557 |
-0,8 |
0,810683 |
0,810634 |
0,000007 |
-0,75 |
0,771802 |
0,771745 |
0,00000814 |
-0,7 |
0,735864 |
0,7358 |
0,00000914 |
-0,65 |
0,702697 |
0,702627 |
0,00001 |
-0,6 |
0,672149 |
0,672074 |
0,00001071 |
-0,55 |
0,644086 |
0,644006 |
0,00001143 |
-0,5 |
0,618389 |
0,618304 |
0,00001214 |
Точность соответствует. По полученным значениям строим график.
