5.15. Приближениое вычисление определённых интегралов.
Формула Ньютона-Лейбница позволяет аналитически вычислить определённый интеграл, если удается найти первообразную подынтегральной функции. Однако, последнюю можно отыскать далеко не во всех случаях. В связи с этим возникает задача о приближенном вычислении определённого интеграла. Соответствующие приближенные формулы (они называются квадратурными) проще всего получать, интерпретируя определённый интеграл как площадь.
5.15.1. Формула прямоугольников.
Формула прямоугольников основана на замене подынтегральной функции f(x) на кусочно-постоянную функцию (см. рис. 5.16).
Отрезок
разбивается на n частей
равной длины
а площадь криволинейной трапеции
приближенно приравнивается площади
ступенчатой фигуры, составленной из
прямоугольников и изображенной на рис.
5.16 (штриховка).
y
x
0
…
Рис. 5.16
Тогда
(5.15.1)
Эта же площадь может быть приближенно приравнена площади ступенчатой фигуры, показанной на рис.16 пунктиром:
(5.15.2)
5.15.2. Формула трапеций.
Формула трапеций аналогична формулам прямоугольников, но f(x) заменяется на каждом отрезке длиной линейной функцией, а площадь – суммой площадей трапеций (рис. 5.17). Очевидно, что соответствующая площадь получается как полусумма площадей (5.15.1), (5.15.2):
(5.15.3)
y
…
0
x
Рис. 5.17
Формула (5.15.3) точнее, чем (5.15.1) или (5.15.2), хотя объём вычислений остаётся почти тем же самым.
5.15.3. Формула парабол.
Формула парабол, предложенная английским математиком Симпсоном (XVIII век), основана на замене функции f(x) на отрезках длиной дугой параболы.
Непосредственно
вычислением можно убедиться в том, что
для
справедливо следующее равенство
(5.15.4)
(проверьте самостоятельно).
y
0
x
Рис. 5.18
С помощью формулы (5.15.4) и рис. 5.18 получаем:
……………………………
Отсюда имеем
(5.15.5)
Здесь m=2n, а дуги парабол на рис. 5.18 считаются «слившимися» с кривой y=f(x). Точность формулы (5.15.5) выше, чем (5.15.2), (5.15.1), (5.15.3).
5.16. Несобственные интегралы.
Понятие интеграла было введено для функций, непрерывных на конечном отрезке. Однако, при рассмотрении математических моделей многих явлений (процессов) целесообразно обобщение понятие интеграла. Во-первых, иногда полезно рассмотрение бесконечных пределов интегрирования. Во-вторых, интегрируемая функция может иметь разрывы. В связи с изложенным мы рассмотрим эти ситуации и дадим соответствующие обобщения понятия интеграла.