4. Кінематика і динаміка рідини

Гідродинамікою (технічною гідродинамікою) називають розділ гідравліки, в якому вивчаються закони руху рідини.

Для вивчення течії рідини необхідно обрати відповідну кінематичну модель. Ознайомимося із вивченням течії рідин та газів Ейлера (метод Ейлера).

Оберемо нерухому систему координат, до якої будуть відноситися швидкості течії рідини. У точці, що знаходиться в середині потоку, миттєве значення складових швидкості вздовж осей координат буде залежати від положення точки, тобто від величини координат x,y,z та часу t.

Для складових швидкостей течії рідини v_x, v_y, v_z можна записати наступні функціональні залежності:

v_x=f₁(x,y,z,t);

v_y=f₂(x,y,z,t);

v_z=f₃(x,y,z,t).

Знаючи для конкретного випадку течії значення цих функцій, можна для будь-якого моменту часу отримати розподіл швидкостей течії рідини.

Метод Лагранжа вивчення кінематики рідини полягає у розгляданні зміни координат x,y,z фіксованих точок, що рухаються разом із рідиною. Точки всередині потоку фіксуються по відношенню до нерухомої системи координат початковими координатами x_о , y_о ,z_о у момент часу t_o. Різні точки всередині рідини відрізняються одна від одної тільки значенням початкових координат. Для визначення координат кожної розглядуваної точки існує функціональна залежність:

x=u₁(x_o,y_o,z_o,t);

y=u₂(x_o,y_o,z_o,t);

z=u₃(x_o,y_o,z­_o,t).

Швидкості руху цих точок відповідає місцевій швидкості течії потоку:

Кінематика одного й самого потоку може вивчатися як методом Ейлера, так і методом Лагранжа. Координати Ейлера і Лагранжа пов’язані поміж собою. У більшості випадків використовують метод Ейлера. У подальшому ми й будемо його дотримуватися.

Картина швидкостей в кожний момент часу в просторі, заповненому рідиною, що рухається, називають полем швидкостей, а картина тиску – полем тиску.

Якщо швидкість та тиск в кожній точці простору, заповненого рідиною, що рухається, залишаються незмінними на протязі всього часу (але можуть змінюватися при переході від однієї точки простору до іншої), то рух називають усталеним.

Кажучи іншими словами, при усталеному русі поле швидкостей та поле тиску з перебігом часу залишаються незмінними.

При усталеному русі: v=f₁(x,y,z), p=f₂(x,y,z).

При несталому русі рідини поля швидкостей та тисків будуть безперервно змінюватися. В цьому випадку швидкість та тиск в кожній точці простору залежать як від координат, так і від часу: v=f₁(x,y,z,t), p=f₂(x,y,z,t).

4.1. Схема руху рідини

Лінією струму називається крива, проведена через ряд точок в рухомій рідині таким чином, що вектори швидкостей часток рідини, що знаходяться у даний момент часу в даних точках, є до неї дотичними.

Якщо в рухомій рідині взяти елементарний замкнений контур та через всі його точки провести лінії струму, от отримаємо трубчасту поверхню, яку називають трубкою струму.

Частина потоку, що міститься всередині трубки струму, називається елементарною струминкою.

В будь-якій точці трубки струму, тобто бічній поверхні струминки, вектори швидкості спрямовані по дотичній, а нормальні до цієї поверхні складові відсутні, тому при усталеному русі жодна частинка рідини з будь-якої точки трубки струму не може проникнути всередину струминки чи вийти ззовні. Таким чином, трубка струму являє собою так би мовити непроникливу стінку, а елементарна струминка являє собою самостійний елементарний потік.

Потоки кінцевих розмірів будемо спочатку розглядати як сукупність елементарних струминок, тобто будемо припускати, що течія є струминною. В наслідок різниці швидкостей сусідні струминки будуть ковзати одно по одній, але не будуть змішуватися.

Живим перетином (чи просто перетином) потоку називається в загальному випадку поверхня в межах потоку, проведена по нормалі до ліній струму.

Розрізняють напірні та безнапірні течії рідини.

Напірними називають течії в закритих руслах без вільної поверхні.

Безнапірними називають течії з вільною поверхнею.

При напірних течіях тиск вздовж потоку зазвичай змінюється, а при безнапірній течії – є сталою величиною (на вільній поверхні) і частіше за все дорівнює атмосферному.