- •Содержание.
- •Введение
- •Модели систем массового обслуживания
- •Предметная область теории телетрафика
- •Информационные процессы и конфликты обслуживания
- •Основные определения теории систем массового обслуживания
- •Модели потока требований
- •Нестационарный пуассоновский поток.
- •Примитивный поток.
- •Поток с ограниченным последействием.
- •Поток Эрланга
- •Поток освобождений серверов.
- •Модели систем массового обслуживания.
- •Математическое введение в теорию цепей Маркова. (Markov’s chain )
- •Классификация систем массового обслуживания.
- •Формула Литтла (Little).
- •Анализ систем массового обслуживания с марковскими потоками требований.
- •Система м/m/1. Анализ.
- •Cистема с конечным накопителем: m/m/1:n
- •Система с несколькими серверами: m/m/m
- •Система обслуживания с m серверами и с явными потерями: m/m/m:Loss
- •Система обслуживания m/m/m:k/m конечное число источников нагрузки, m серверов и конечный накопитель.
- •Система типа m/m/m:m.
- •Вероятность занятия серверов.
- •Сравнительные характеристики моделей Эрланга и Энгсета
- •Примеры анализа систем связи.
- •Системы с неполнодоступным включением серверов.
- •Основы марковской теории сетей массового обслуживания.
- •Анализ систем массового обслуживания без явных потерь.
- •Анализ сетей массового обслуживания с блокировками. Метод вероятностных графов Ли.
- •Анализ и оптимизация коммутационных систем
- •Анализ систем с произвольным законом распределения времени обслуживания
- •Сравнение характеристик качества обслуживания в сетях с коммутацией каналов и коммутацией пакетов.
- •Анализ времени доставки сообщений в сети с коммутацией каналов.
- •Анализ времени доставки сообщений в сетях с коммутацией пакетов.
- •Анализ характеристик каналов с интеграцией речи и данных
- •Метод производящих функций
- •Модели интеграции речи и данных.
- •Интеграция на основе обслуживания в порядке поступления.
- •Интеграция с абсолютным приоритетом.
- •Интеграция на основе стратегии подвижной границы.
- •Система типа g/g/1.
- •Анализ систем массового обслуживания с приоритетами
- •Дисциплины обслуживания. Модель с приоритетами.
- •Основная модель расчета среднего времени ожидания
- •Дисциплины обслуживания с приоритетами, зависящими от времени
- •Оптимизация назначения приоритетов
- •Список используемой литературы.
Анализ систем массового обслуживания с марковскими потоками требований.
В этом разделе вы познакомитесь с методами расчета характеристик качества обслуживания QоS систем массового обслуживания, если они могут быть описаны моделью с марковским потоком требований на входе, т.е. интервалы времени между поступлениями соседних требований являются случайной величиной с экспоненциальным распределением.
Система м/m/1. Анализ.
Как было описано при классификации систем, это система с пуассоновским входным потоком заявок, экспоненциальным законом распределения времени обслуживания и одним сервером.
На рис. 1.10 приведена простейшая схема такой системы. Она содержит буфер, который может хранить очередь бесконечной длины, состояние которой может быть отождествлено с числом заявок, содержащихся в очереди в каждый момент времени.
Рис. 1.10 СМО типа М/М/1.
Поскольку входной процесс ординарный, то в каждый момент времени к очереди может добавиться только одна заявка, поскольку сервер один, то в каждый момент времени может быть обслужена, то есть уйти из очереди только одна заявка. Таким образом, рассматриваемая СМО относится к процессу класса «гибели-размножения». Для анализа необходимо конкретизировать параметры системы. Распределение вероятностей входного потока и времени обслуживания позволяет полагать интенсивности вероятностей в модели постоянными.
Здесь – среднее время обслуживания в сервере.
На рис 1.11 приведена диаграмма интенсивностей переходов для рассматриваемой системы.
Рис. 1.11 Диаграмма интенсивности переходов для СМО типа М/М/1.
Полученное ранее общее решение позволяет сразу записать вероятность того, что в стационарном состоянии в очереди будет находиться kзаявок
Найдем начальное значение вероятности, учитывая сходимость соответствующего ряда
.
Окончательно получаем формулу для вероятности длины очереди
.
На рис. 1.12 приведен график вероятностей того, что в очереди находится kзаявок в установившемся режиме.
Рис. 1.12 Стационарные вероятности ркдля СМО типа М/М/1.
Теперь найдем наиболее интересные характеристики.
Важной характеристикой системы является средняя длина очереди. Зная вероятности каждого из возможных значений длины, найдем математическое ожидание:
.
График средней длины очереди заявок в системе в зависимости от значения коэффициента использования или нагрузки показан на рис. 1.13.
Найдем теперь дисперсию длины очереди:.
Для нахождения среднего значения времени пребывания в очереди воспользуемся формулой Литтла.
.
На рис. 1.14 приведен график зависимости среднего времени пребывания в очереди в зависимости от коэффициента использования (нагрузки).
Рассматривая полученные результаты, нетрудно видеть, что при увеличении коэффициента использования, как длина очереди, так и время пребывания в ней неограниченно возрастают при приближении ρк единице. Такой вид зависимости от коэффициента использования характерен для почти всех СМО.
Наконец найдем вероятность того, что в очереди будет находиться не менее чем kзаявок и того, что в очереди менееkзаявок.
Итак, в ходе анализа простей шей системы М/М/1 нам удалось в аналитическом виде найти все практически интересные характеристики QoSсистемы.