- •Содержание.
- •Введение
- •Модели систем массового обслуживания
- •Предметная область теории телетрафика
- •Информационные процессы и конфликты обслуживания
- •Основные определения теории систем массового обслуживания
- •Модели потока требований
- •Нестационарный пуассоновский поток.
- •Примитивный поток.
- •Поток с ограниченным последействием.
- •Поток Эрланга
- •Поток освобождений серверов.
- •Модели систем массового обслуживания.
- •Математическое введение в теорию цепей Маркова. (Markov’s chain )
- •Классификация систем массового обслуживания.
- •Формула Литтла (Little).
- •Анализ систем массового обслуживания с марковскими потоками требований.
- •Система м/m/1. Анализ.
- •Cистема с конечным накопителем: m/m/1:n
- •Система с несколькими серверами: m/m/m
- •Система обслуживания с m серверами и с явными потерями: m/m/m:Loss
- •Система обслуживания m/m/m:k/m конечное число источников нагрузки, m серверов и конечный накопитель.
- •Система типа m/m/m:m.
- •Вероятность занятия серверов.
- •Сравнительные характеристики моделей Эрланга и Энгсета
- •Примеры анализа систем связи.
- •Системы с неполнодоступным включением серверов.
- •Основы марковской теории сетей массового обслуживания.
- •Анализ систем массового обслуживания без явных потерь.
- •Анализ сетей массового обслуживания с блокировками. Метод вероятностных графов Ли.
- •Анализ и оптимизация коммутационных систем
- •Анализ систем с произвольным законом распределения времени обслуживания
- •Сравнение характеристик качества обслуживания в сетях с коммутацией каналов и коммутацией пакетов.
- •Анализ времени доставки сообщений в сети с коммутацией каналов.
- •Анализ времени доставки сообщений в сетях с коммутацией пакетов.
- •Анализ характеристик каналов с интеграцией речи и данных
- •Метод производящих функций
- •Модели интеграции речи и данных.
- •Интеграция на основе обслуживания в порядке поступления.
- •Интеграция с абсолютным приоритетом.
- •Интеграция на основе стратегии подвижной границы.
- •Система типа g/g/1.
- •Анализ систем массового обслуживания с приоритетами
- •Дисциплины обслуживания. Модель с приоритетами.
- •Основная модель расчета среднего времени ожидания
- •Дисциплины обслуживания с приоритетами, зависящими от времени
- •Оптимизация назначения приоритетов
- •Список используемой литературы.
Анализ характеристик каналов с интеграцией речи и данных
Для решения этой задачи нам потребуется новый математический аппарат, краткое изложение которого дается в следующем разделе.
Метод производящих функций
Этот метод является применением известного вам по теории обработки сигналов z-преобразования к описанию распределения вероятностей.
Пусть имеется функция дискретного аргумента n, представляющая собой невозрастающую последовательность.Z-преобразованием последовательности называют функцию комплексной переменной
.
Если функция pn имеет смысл распределения вероятностей полной системы событий, то соответствующее z-преобразование называют производящей функцией. Применение этого преобразования позволяет упростить решение уравнений равновесия для процессов гибели-размножения, сводя решение систем разностных уравнений к системам алгебраических.
Будем опираться на известные свойства z – преобразований, приведенные, например, в книге Л. Клейнрок «Теория массового обслуживания».
Для производящих функций нетрудно получить как частный случай следующие соотношения
Теперь вернемся к системе массового обслуживания M/M/1, уравнения которой имеют вид
Решим эти уравнения методом производящих функций. Умножим правую и левую часть на zn и просуммируем от нуля до бесконечности.
В результате получим
.
Группируя соответствующие члены, получаем
Из соотношения
Полученное выражение сразу позволяет найти среднюю длину очереди, исходя из свойств производящей функции
.
Этот результат, конечно, совпадает с полученным ранее прямым методом.
Найденная производящая функция позволяет сразу определить и все значения вероятностей. С этой целью можно воспользоваться таблицей z-преобразований или разложить производящую функцию в степенной ряд и выписать полученные коэффициенты. Можно также воспользоваться вычислением обратного z-преобразования с помощью теоремы о вычетах.
.
Рассмотрим теперь систему M/M/2, которая встретится нам в дальнейшем еще раз. Решение уравнения равновесия для неё было найдено в виде
Найдем производящую функцию
Выражения для полученных здесь производящих функций будут использованы далее при рассмотрении сетей с интеграцией средств коммутации пакетов и каналов.
Модели интеграции речи и данных.
Рассмотрим объединение двух видов нагрузки – обслуживание с коммутацией каналов, кратко – речь и нагрузка, требующая обслуживания с коммутацией пакетов – данные.
Назовем первую из этих видов нагрузка 1-го класса. Будем считать, что интенсивность поступлений ВЫЗОВОВ (требований на соединение) λ1 а среднее время занятия 1/μ1. Этот тип нагрузки требует одного временного канала и при отсутствии свободных каналов – блокируется.
Второй из видов нагрузки назовем Нагрузка 2-го класса. Интенсивность поступлений ПАКЕТОВ положим равной λ2, а средняя длина пакета определяет время обслуживания 1/μ2. Эта группа заявок ставится в очередь при отсутствии свободных каналов. В этом и состоит основное отличие двух классов нагрузки с точки зрения теории телетрафика.
Для обслуживания нагрузки в зависимости от класса может быть выделено фиксированное или переменное число каналов. В зависимости от способа предоставления каналов для заявок разного класса будет получаться различное качество обслуживания нагрузки. Наша задача проанализировать различные методы обслуживания.