6. Классификация векторных полей

6.1. Безвихревое поле

Определение 6.1. Векторное поле, ротор которого тождественно равен нулю, называется безвихревым.

Теорема 6.1. Для того, чтобы векторное поле, заданное в односвязной области, было безвихревым, необходимо и достаточно, чтобы циркуляция по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равнялась нулю.

6.2. Потенциальное поле

Определение 6.2. Векторное поле называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля

U(x, y, z).

Теорема 6.2. Для того, чтобы векторное поле, заданное в односвязной области, было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы в этой области оно было безвихревым. Из данной теоремы следует условие потенциальности векторного поля

, , . (6.1)

Потенциал поля находится по формуле

,

где M₀M – произвольный путь интегрирования от точки М₀ до

точки М.

Обычно в качестве такого пути выбирают ломанную М₀М₁М₂М , звенья которой параллельны осям координат. В этом случае формула для вычисления потенциала имеет вид

. ( 6.2)

6.3. Соленоидальные поля

Определение 6.3. Векторное поле называется соленоидальным в области Т, если дивергенция равна нулю в каждой точке

области, т.е. . Соленоидальное поле также называют трубчатым. Векторные линии его уходят в бесконечность или замкнуты.

Если выделить в поле векторную трубку часть пространства, ограниченного векторными линиями (рис. 6.3.1), пересечь трубку двумя поперечными сечениями и вычислить поток поля через замкнутую поверхность, образованную сечениями S₁ и S₂ и часть боковой поверхности трубки, то можно показать (используя теорему Остроградского),

что поток соленоидального поля

через любое поперечное сечение

векторной трубки имеет одно и то

же значение.

Теорема 6.3. Для того, чтобы векторное поле было в области Т соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток этого поля через любую замкнутую поверх-

ность область Т был равен нулю.

Рис. 6.3.1

Пример 6.3.1. Будет ли векторное поле

потенциальным или соленоидальным? Найти потенциал поля, если оно

является потенциальным.

Решение. Проверим условие соленоидальности поля, т.е. во всех точках поля. .

Поле не является соленоидальным.

Вычислим ротор поля:

По формуле (6.2) найдем потенциал поля:

В каждом пути интегрирования Г возьмем ломаную ОАВС (рис. 6.3.2), точка О совпадает с начальной координатой О (0,0,0).

Рис. 6.3.2

7. Задание для самостоятельной работы

Комплект 1

Задача 1. Найти векторные линии в векторном поле .

1.1.

Задача 2. Найти поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью D_z).

Задача 3. Найти поток векторного поля через часть поверхности S, вырезаемую плоскостями P₁ и P₂, нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями.

Задача 4. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).

Задача 5. Найти работу силы при перемещении вдоль отрезка MN от точки M к точке N.

Задача 6. Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль контура Г.

Комплект 2

Задача1. Найти векторные линии в векторном поле .

Задача 2. Найти поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ).

Задача 3. Найти поток векторного поля через часть поверхности S: x²+y²=z² (z 0), вырезаемую плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными плоскостями).

Задача 4. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

Задача 5. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M к точке N.

Задача 6. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура Г

(в направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

Комплект 3

Задача 1. Найти векторные линии в векторном поле

Задача 2. Найти поток векторного поля через часть плоскости P, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью OZ).

Задача 3. Найти поток векторного поля через тело поверхности S при , вырезаемой плоскостью P (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

Задача 4. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).

Задача 5. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M к точке N.

Задача 6. Проверить, является ли векторное поле потенциальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал.