2.1. Вычисление потока

2.1.1. Вычисление методом проектирования на одну

из координатных плоскостей

Пусть поверхность задана уравнением .

Единичный вектор нормали , но, как известно, . Следовательно, .

Знак в правой части берется так, чтобы получить нормальный вектор именно к выбранной стороне поверхности.

Если поверхность задана уравнением , то .

Знак «+» соответствует выбору верхней стороны поверхности, нормаль к которой образует острый угол с осью и, следовательно, направляющий косинус положителен.

Известно также, что и .

Пусть поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость в область , тогда вычисление потока векторного поля через поверхность сводится к вычислению двойного интеграла

по области : . (2.2)

Аналогично, если поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость или , то поток вычисляется по формулам ; .

Пример 2.1. Найти поток векторного поля через поверхность конуса и плоскость .

Решение. Обозначим потоки векторного поля: через

боковую поверхность конуса и

через плоскость .

Тогда весь поток П=П₁ +П₂ =

.

Вычислим . Уравнение :

.

Проекция вектора на ось отрицательна.

;

.

Из выражения для (2.2.) найдем

.

.

Вычислим . Уравнения поверхности : , , (На поверхности ),

.

Следовательно, .

Пример 2.2. Найти поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника с вершинами в точках , , .

Решение. Уравнение плоскости составим как уравнение

плоскости, проходящей через три точки

. Следовательно, ,

.

.

Пример 2.3. Вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону однополостного гиперболоида ,ограниченного плоскостями .

Решение. Данная поверхность проектируется взаимно однозначно на плоскость в область , ограниченную окружностями

и .

Находим внешнюю нормаль : .

Т .к. образует с осью тупой угол (рис.2.4), то берем знак минус и, значит, .

Находим скалярное произведение .

Применяя формулу

,

получим Рис.2.4 .

Переходя к полярным координатам , , будем иметь

2.1.2. Вычисление потока методом проектирования

на все три координатные плоскости

Пусть поверхность взаимно однозначно проектируется на все три координатные плоскости:

Тогда поток векторного поля равен

(2.3.)

где знак перед каждым из двойных интегралом берется соответственно таким, каков знак , , на поверхности .

Пример 2.3. Найти поток векторного поля через треугольник, получаемый при пересечении плоскости с координатными плоскостями (выбор указан на рис. 2.5).

Р ешение. Найдем . P[x(y,z),y,z]=(1-y-z)-2z=1-y-3z (выразили из уравнения плоскости)

.

По формуле (2.3) получим

Рис. 2.5

.

При вычислении потока векторного поля через боковую поверхность кругового цилиндра или через сферу удобно пользоваться соответственно цилиндрическими или сферическими координатами.

Пример 2.4. Найти поток векторного поля

через часть сферической поверхности , расположенную в первом октанте.

Решение. Найдем вектор- градиент ,

тогда единичный вектор ; .

По условию задачи поверхность находится в первом октанте, т.е. , , элемент площади в сферических координатах равен . Следовательно, поток через часть сферы вычисляется по формуле .

2.1.3. Вычисление потока методом введения

криволинейных координат на поверхности

В некоторых случаях при вычислении потока векторного поля через данную поверхность S возможно выбрать на самой поверхности простую систему координат, в которой удобно вычислять поток, не применяя проектирования на координатные плоскости.

Рассмотрим частные случаи.

Случай 1). Пусть поверхность S является частью кругового цилиндра , ограниченного поверхностями и .

Полагая , будем иметь для данной поверхности ,

, а для элемента площади dS получаем следующее выражение (рис. 2.6.):

.

Тогда поток векторного поля a

через внешнюю сторону поверхности S

вычисляется по формуле

, (2.4)

где Рис. 2.6

Пример 2.5. Вычислить поток радиуса-вектора

через боковую поверхность кругового цилиндра , ограниченного снизу плоскостью , а сверху – плоскостью .

Р ешение. В данном случае (рис. 2.7) имеем

.

Переходя к координатам на цилиндре

, будем иметь ,

Согласно формуле (2.4) поток вектора r

будет равен

Но так как на цилиндре

Рис. 2.7

то

и, следовательно,

Случай 2). Пусть поверхность S является частью сферы , ограниченной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют вид и полуплоскостями .

Положим для точек данной сферы

г де .

Тогда для элемента площади dS полу- чим (рис. 2.7)

.

В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть S сферы вычисляется по формуле

, ( 2.5)

Рис. 2.8 где

Пример 2.6. Найти поток вектора

через часть поверхности сферы , расположенную в первом октанте, в область, где .

Решение. В данном случае имеем

, ,

Введем на сфере координаты и так, что

Тогда будет иметь

и, применяя формулу (2.5), получим