УФИМСКИЙ государственный НЕФТЯНОЙ технический Университет
Стерлитамакский филиал
Учебно-МЕТОДИЧЕСКоЕ пособие
по теме “Векторный анализ”
Уфа, 2003
Учебно-методическое пособие содержит основные сведения по векторному анализу, предусмотренные программой по высшей математике технического вуза. Предлагаемое методическое пособие рекомендуется для студентов дневного и вечернего отделения по специальностям 1705, 2103, 2903. Разработки являются средством управления и самоуправления учебной работой студентов в аудиторное и внеаудиторное время. Расчетные задания скомплектованы по степени сложности, что позволяет осуществить индивидуальный подход в обучении.
Составители: Григорьева Т. В., доц., канд. пед. наук
Рахматуллина Ф.Т., доц., канд. техн. наук
Жигалова О.В., ст. преподаватель
Седаева Л.С., ст. преподаватель
Рецензент Шулаев Н. С., проф., д-р техн. наук
©Уфимский государственный нефтяной технический
институт, 2002
1.Векторное поле. Векторные линии и их
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Определение 1.1.
Векторным полем точки М называется
векторная функция
точки М вместе с областью ее определения.
Задание векторного
пространственного поля равносильно
заданию трех скалярных функций
,
,
,
являющихся проекциями вектора
на координатные оси. Примерами векторных
полей являются поле магнитной
напряженности, поле сил тяготения, поле
скоростей установившегося потока
жидкостей и т.д.
Определение 1.2. Векторной линией поля называется такая линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора . Векторная линия обычно называется линией тока для поля скоростей, силовой линией – для силового поля.
Как известно,
направляющие косинусы касательной
пропорциональны дифференциалам
,
,
.
Для нахождения векторных линий поля
векторов
и
,
(1.1)
где
- проекция вектора
на координатные оси.
Уравнения (1.1) называются дифференциальными уравнениями векторных линий поля . Если - непрерывно дифференцируемые функции и в точке М вектор отличен от нуля, то через точку М проходит одна определенная векторная линия поля .
Пример 1.1. Найти
векторные линии поля
.
Решение.
Дифференциальные уравнения векторных
линий имеют вид
или
,
;
,
.
Интегрируя, получим
и
,
где
и
- произвольные постоянные. Векторными
линиями являются окружности, расположенные
в плоскостях, параллельных плоскости
и в самой плоскости
при
.
Пример 1.2. Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника тока.
Решение. Будем
считать, что проводник направлен по
оси
и в этом же направлении течет ток I
. Вектор напряженности H
магнитного поля, создаваемого током,
равен
, (1.2)
где
есть вектор тока,
- радиус-вектор точки
,
-
расстояние от оси провода до точки М.
Раскрывая векторное произведение
(1.2), получим
.
Дифференциальные уравнения векторных линий:
,
откуда
,
Рис 1.
т.е. векторные линии являются окружностями с центрами на оси (рис. 1).
2. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ
Определение 2.1.
Потоком П векторного поля
через
двустороннюю
поверхность
называется поверхностный интеграл
второго рода.
,
(2.1)
где
- единичный вектор нормали к
,
указывающей её ориентацию;
- элемент площади поверхности
;
- проекция вектора
на направление
.
Дадим физическое
истолкование формулы (2.1). Пусть
- скорость жидкости, протекающей через
произвольную (двустороннюю) поверхность
.
Рассмотрим разбиение
поверхности на n
частей
с площадками
.
Тогда произведение
равно количеству жидкости, протекающей
через
поверхность
за единицу времени в
направлении
вектора
(рис.2.1).
Интеграл
,
являющийся
пределом интегральной суммы
,
дает полное количество жидкости,
протекающей в единицу времени через
в положительном направлении. Пусть
- поле скоростей в стационарном течении
жидкости, так что ее скорость
в точке М зависит лишь от М, но не зависит
от времени. Из сказанного выше следует,
что поток скорости через ориентированную
поверхность
за единицу времени в том направлении,
в котором ориентирована эта поверхность
(физический смысл потока).