Тема 11. Узагальнені економетричні моделі Лабораторна робота №22. Нелінійні моделі Приклади рішення задач
Задача 11.1 (множинна нелінійна залежність між попитом та ціною на деякій товар)
Нехай на повний вигляд товару таблиця попиту має вигляд:
Pi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Di |
8,3 |
7,28 |
6,38 |
6,3 |
5,49 |
4,7 |
3,7 |
3,2 |
2,5 |
1,96 |
1,56 |
де Рі- ціна за одиницю товару
Dі - кількість товару поданого за певний період по ціні Рі
1. На основі статистичних даних знайти оцінки параметрів регресії попит, якщо допустити, що вона має таку структуру:
D=a0+a1P+a2P2 (11.1)
2.Зробити повний регресійний, дисперсійний та економічний аналіз моделі.
3. Обчислити:
- проміжки цін зростання та спадання товарообігу в грошовому вираженні;
- ціну на товар, за якої товарообіг у грошовому вираженні буде максимальним;
- проміжки цін зростання та спадання прибутку;
- оцінку ціни на товар, за якої прибуток буде максимальним, та його значення.
Рішення
1. Згідно теорії перетворимо вхідні данні залежності попиту від ціни в лінійну модель і заповнимо наступну таблицю.
Таблиця 11.1
Di |
Pi |
Pi2 |
8,3 |
1 |
1 |
7,28 |
2 |
4 |
6,38 |
3 |
9 |
6,3 |
4 |
16 |
5,49 |
5 |
25 |
4,7 |
6 |
36 |
3,7 |
7 |
49 |
3,2 |
8 |
64 |
2,5 |
9 |
81 |
1,96 |
10 |
100 |
1,56 |
11 |
121 |
де
,
.
Застосовуючи пакет аналіз «Регресія» табличного процесору Excel отримали наступні дані (табл. 11.2)
Таблиця 11.2
Результати регресійного дисперсійного аналізу моделі
Регресійна статистика |
||||||
Множинний R |
1,00 |
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,99 |
|
|
|
|
|
Нормований R-квадрат |
0,99 |
|
|
|
|
|
Стандартна помилка |
0,22 |
|
|
|
|
|
Спостереження |
11,00 |
|
|
|
|
|
Дисперсійний аналіз |
||||||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значущість F |
|
Регресія |
2,00 |
50,68 |
25,34 |
514,13 |
3,5-E9 |
|
Остаток |
8,00 |
0,39 |
0,05 |
|
|
|
Усього |
10,00 |
51,07 |
|
|
|
|
|
Коефіцієнти |
Стандартна помилка |
t-статистика |
P-Значення |
Нижня межа 95% |
Верхня межа 95% |
Y-перетин |
8,97 |
0,24 |
36,81 |
0,00 |
8,41 |
9,54 |
Змінні X 1 |
-0,79 |
0,09 |
-8,42 |
0,00 |
-1,00 |
-0,57 |
Змінна X 2 |
0,01 |
0,01 |
1,19 |
0,27 |
-0,01 |
0,03 |
2.Аналіз даних робиться на основі прикладів рішення задач лабораторної роботи 18-22 (Задача 10.1)
3. Згідно даним таблиці 11.2: а0=8,97
а1=-0,78
а2=0,01
отже рівняння нелінійної залежності між попитом та ціною на деякий вид продукції має вигляд:
(11.2)
4.Для пошуку проміжків зростання та спадання товарообігу в грошовому вираженні підставимо значення знайдених оцінок параметрів регресії у формулу:
) (11.3)
Маємо:Р1=51,64 Р2=6,41.
Після підстановки отриманих значень у рівняння товарообігу, що дорівнює
:
Отримаємо два значення товарообігу одне максимальне , друге мінімальне.
Отже в точці Р1=51,64 товарообіг
мінімальний а в точці Р2=6,41-
максимальний. Проміжки зростання
(враховуючі, що ціна – значення не
від’ємне, теж саме стосується і
товарообороту) товарообігу
та спадання
.
При р=13,6 значення товарообігу приблизно дорівнюватиме 0.
5. Для пошуку максимального прибутку скористуємося формулою:
(11.4)
де С –сталі витрати, а VD – змінні витрати в собівартості продукції, та:
Підставляючи ці значення в формулу прибутку, знаходимо його похідну по Р і прирівнюємо до 0. Рішення квадратного рівняння має наступний вигляд:
(11.5)
а V – коефіцієнт змінних витрат пропорційний обсягу випуску продукції.
Підставляючи отримані оцінки параметрів моделі маємо, наближено вираз значення ціни при найбільшому прибутку:
(11.6)
Отже чім більше значення V, тим більше ціна, так як підкореневий виріз завжди невід’ємний.
Якщо відома собівартість продукції і відповідно її змінні витрати, то можна обчислити максимальний прибуток:
де
обчислено за формулою (11.2) при заданому
значення V І с (С= 2,1 од. а,
V= 0,7).
Задача
11.2
На
основі статистичних даних показника Y
і
факторів
та
знайти
оцінки параметрів регресії, якщо
припустити, що стохастична залежність
між факторами і показником має вигляд
У = 1п(а0
+а1/Х1+
а2Х2)
на
основі вхідних даних:.
Таблиця 11.3
x1 |
x2 |
y |
0,352 |
5,206 |
1,0495 |
0,4676 |
5,31 |
0,9615 |
0,5507 |
5,362 |
0,9765 |
0,7729 |
5,507 |
0,905 |
0,7995 |
5,763 |
1,008 |
1,007 |
5,886 |
0,996 |
1,298 |
5,928 |
0,9635 |
1,484 |
6,222 |
0,914 |
1,783 |
6,595 |
0,9265 |
1,867 |
6,737 |
0,9085 |
2,115 |
6,986 |
0,9435 |
2,312 |
7,054 |
0,975 |
2,509 |
7,425 |
0,961 |
2,777 |
7,526 |
0,9595 |
2,967 |
7,764 |
|
Використовуючи критерій Фішера, оцінити з надійністю р = 0,95 адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним. Якщо модель адекватна, то знайти:
оцінки прогнозу та з надійністю р= 0,95 його надійний інтервал;
оцінки частинних коефіцієнтів еластичності для прогнозу.