Академия управления

при Президенте Республики Беларусь

Теория вероятностей

и

математическая статистика

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским советом Академии управления

при Президенте Республики Беларусь

МИНСК 2008

Содержание

Часть I. Задачи по теории вероятностей 4

Глава 1. События и вероятности 4

1.1 Элементы комбинаторики 4

1.2 Пространство элементарных событий. Полная группа событий. Операции над событиями 8

1.3 Задачи на классическое определение вероятности и гипергеометрическое распределение 12

1.4 Геометрические вероятности 15

1.5 Формулы сложения и умножения вероятностей 17

1.6 Формула полной вероятности и формула Байеса 22

1.7 Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли 28

Глава 2. Случайные величины и законы их распределения 34

2.1 Законы и функции распределения случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия 34

2.2 Важнейшие распределения: биномиальное, Пуассона, показательное, равномерное и геометрическое 39

2.3 Нормальное распределение и его свойства 42

2.4 Двумерные случайные величины. Совместная функция и плотность распределения случайных величин 46

Часть II. Математическая статистика 49

Глава 3. Доверительные интервалы 49

3.1 Доверительные интервалы при известной и неизвестной дисперсии 49

Глава 4. Проверка статистических гипотез 53

4.1 Сравнение дисперсий 53

4.2 Сравнение средних генеральных совокупностей 59

Глава 5. Элементы теории корреляции 66

Глава 6. Цепи Маркова 68

6.1 Цепи Маркова с дискретным временем 68

6.2 Цепи Маркова с непрерывным временем 73

6.3. Задачи на использование схемы гибели и размножения 76

Ответы 78

Приложения 81

Часть I. Задачи по теории вероятностей Глава 1. События и вероятности

1.1 Элементы комбинаторики

Краткие теоретические сведения.

1) Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле:

2) Число перестановок определяется формулой:

3) Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле: .

4) В формуле для числа перестановок предполагается, что все n элементов различны. Если некоторые из них повторяются, то для числа перестановок используется другая формула. Пусть среди n элементов имеется n₁ элементов первого вида, n₂ – другого, …….., n_k – k-го. Тогда число различных перестановок с повторениями определяется формулой:

, где .

5) Число размещений по элементов с повторениями из элементов вычисляется по формуле:

6) Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов способами, а другой объект В может быть выбран способами, то выбрать А, либо В можно способами.

7) Правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов способами и после такого выбора объект В можно выбрать способами, то пара (А,В) в указанном порядке может быть выбрана способами.

Задачи

1. Сколько существует способов размещения 9 студентов за 9 компьютерами?

2. Каким количеством различных способов можно выбрать 3 лица из 10 кандидатов: а) на 3 одинаковые должности? б) на 3 различные должности?

3. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 3,3,3,7,7,7?

4. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: Беларусь; город; ротор; колокол?

5. На 5 одинаковых карточках написаны буквы О,К,Р,Д,Е. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово КОДЕР?

6. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 3, 4, 6, 9, если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться.

7. На полке в случайном порядке расставлены 4 компакт-диска из учебной тематической серии “Изучение офисных приложений”. Какова вероятность того, что они стоят в порядке возрастания номеров слева направо?

8. Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом, автобусом, а из него в пункт С – пешком, на тракторе, на лошади, на лодке. Каким количеством способов можно добраться из А в С через В?

9. Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры которых различны?

10. Каким количеством способов можно упорядочить множество так, чтобы каждое четное число имело нечетный номер?

11. Группа шахматистов сыграла между собой 28 партий. Каждые два из них встречались между собой 1 раз. Сколько шахматистов участвовало в соревновании?

12. Сколькими способами можно распределить группу из 36 студентов поровну между четырьмя компьютерными классами?

12. На железнодорожной станции имеется 10 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава?

14. В азбуке Морзе используется два знака: точка и тире. Каждый символ (например, буква) кодируется определенной последовательностью этих знаков, например: Е кодируется точкой (), А - точкой и тире ( -), Э – четырьмя точками и тире (   -   ). Какое количество разных символов можно закодировать не более чем четырьмя знаками азбуки?

15. Из группы в 12 человек нужно выбрать 2 человека для выполнения одной работы и три – для другой. Каким количеством способов можно это сделать?

16. В шахматной встрече двух команд (по шесть человек в каждой) участники партий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьевкой. Каково число различных исходов жеребьевки?

17. Сколько различных буквенных сочетаний (“слов”) можно образовать из всех букв слова “интеграл”? Сколько из них таких, в которых буквы “т” и “р” стоят рядом? Сколько таких, в которых “т” и “р” не стоят рядом?

18. Сколько необходимо иметь словарей (типа англо-русского), чтобы иметь возможность переводить текст с любого из 5 языков на любой другой (из этих же пяти языков)?

19. Сколько прямых можно провести через 8 точек, если три точки лежат на одной прямой?

20. Комиссия из 14 человек, 7 человек которой представляют интересы одной организации и 7 человек - другой, занимает места за круглым столом для проведения консультаций. Каким количеством способов можно их разместить, чтобы представители от одной организации не сидели рядом?

21. Из девяти букв В,С,Е,Л,Е,Н,Н,А,Я выбираются одна за другой и приставляются друг к другу в порядке выбора буквы. Найти вероятность того, что при этом получится слово: а) НЕВА; б) ЛЕСА; в) СЕЛЕН.

22. Сколько существует способов составления в случайном порядке списка из 4 кандидатов для выбора на руководящую должность?

23. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

24. Для разгрузки товара директору супермаркета требуется выделить 5 из 20 имеющихся рабочих. Сколькими способами это можно сделать, осуществляя отбор в случайном порядке?

25. Отдел рекламы фирмы имеет средства на размещение рекламы в 15 из 25 городских газет. Сколько существует способов для случайного отбора газет для помещения объявлений?

26. Электронные документы передаются по семи каналам связи из пункта А в пункт В. В пункте В документы редактируются и передаются обратно в пункт А. Найти: а) сколькими способами можно передать документ из пункта А в пункт В и обратно? б) дать ответ на тот же самый вопрос, если документ не может вернуться в пункт А по тому же каналу, по которому он был передан в пункт В.

27. В борьбе за призовые места на студенческой олимпиаде по информационным технологиям участвуют 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены первое и второе место?

28. В электронной библиотеке имеется 10 статей по заданной тематике. Каким количеством способов можно скопировать три статьи на диск на локальном компьютере?

29. В электронной папке содержится 5 документов. Выбранный наугад документ копируется в другую папку, после чего еще один выбранный наугад документ копируется на дискету. Сколькими способами можно проделать эти операции?

30. Имеется 10 электронных документов, три из которых нужно поместить в очередь на печать на лазерном принтере. Каково число различных вариантов?

31. Имеется 5 компьютеров и 4 пользователя. Сколько существует способов распределения пользователей по компьютерам, если каждому пользователю должен достаться компьютер и не разрешается работать двум пользователям за одним компьютером?

32. Имеется 10 символов, которые можно использовать для составления двухбуквенного кода электронного документа. Сколько кодов можно составить из этих символов?

33. В библиотеке 5 книг по информационным технологиям. Сколькими способами можно выбрать из них 3 книги?

34. В компьютерной сети работают n пользователей, причем каждый из них связался с остальными по E-mail в течение одного часа один раз. Сколько сеансов связи пользователей друг с другом произошло в течение этого часа?

35. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?

36. В компьютерном классе имеется 6 компьютеров. Для научного эксперимента требуется отобрать 4 компьютера. Сколькими способами можно это сделать?