Решение.

Как известно, луч света, падающий на кривое зеркало, отражается по известному закону оптики: угол падения равен углу отражения. При этом углы падения и отражения измеряются по отношению к касательной.

Мы умеем строить касательные к параболе в любой точке. Этот навык поможет нам без труда получить нужный результат. Обратимся к хорошо знакомому нам чертежу. Треугольник PZD является равнобедренным, касательная к параболе – это его биссектриса, поэтому PZS = SZD, а LZK = SZD, как вертикальный угол. Итак, PZS =  LZK. Угол падения равен углу отражения.

Задача. Говорят, что две кривые касаются друг друга в какой-то точке, если это общая точка двух кривых и касательные, проведенные через эту точку к этим кривым, совпадают. Для каждого положительного числа t зададим точку Т с координатами (0, t²+0,5) и величину r= . Рассмотрим семейство окружностей, центр каждой из которых расположен в одной из точек Т, а радиус равен соответствующему значению r. Доказать, что пaрабола является огибающей этого семейства окружностей (то есть касается каждой из них).

Р ешение.

Легко зaметить, что центры окружностей лежат на оси ординат. Исходя из этого, попытаемся построить касающуюся параболы окружность, центр которой лежит на оси ординат. Пусть точка М лежит на параболе и имеет абсциссу t. Тогда ее ордината равна t². Уравнение касательной в этой точке принимает вид: у = 2t х – t² (коэффициент а в уравнение параболы у = ах² считаем равным 1).

Прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная касательной, имеет уравнение:

.

Именно на этой прямой лежат центры окружностей, которые касаются нашей параболы.

Положив х = 0, найдем точку Т пересечения этой прямой с осью ординат: у = t² + 0,5. Кроме того, ТМ² = (t – 0)² + (t² + 0,5 – t²)² = t² + 0,25. Мы доказали, что любая окружность из нашего семейства касается параболы.

1 Более точное определение вершины параболы таково – точка пересечения параболы с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису.