Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
Второй замечательный предел
(12)
применяется
( как и в случае последовательностей)
при вычислении пределов
,
где
т.е. в случае неопределённости вида
Следующие три примера решим различными способами.
Пример
35.
Найти
предел
Решение.
Находим
пределы
основания и показателя степени исходного
выражения
и убеждаемся в том,
что
перед
нами
неопределённость
вида
Выделяем в исходном выражении формулу
и вычисляем предел, используя (12):
Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.
Пример
36.
Найти
предел
Решение.
Преобразуем
логарифм
исходного
выражения,
применив
формулу
Отсюда
Теперь
находим искомый предел:
Для
вычисления предела
,
где
т.е. в случае неопределённости вида
,
можно использовать правило:
.
(13)
Пример
37.
Найти
предел
Решение. Находим
Далее,
и
в силу (13) получаем
Пример
38.
Последовательность
функций
определяется
следующим образом:
Найти
Решение.
Легко
заметить и доказать по индукции, что
Оценим
разность между
и
числом
являющимся
корнем
уравнения
.
Последнее
неравенство следует из того, что
и
Применяя
полученное неравенство
к
разности
и
т.д., получим
то
есть
.
Отсюда
видно, что
Непрерывность функции
Определение.
Функция
,
заданная на множестве 
называется непрерывной в точке а
Е,
если
(14)
Отсюда
следует, что в изолированной точке
множества Е функция непрерывна (см.
пример 42); если же а - предельная для
множества Е, то (14) означает, что
Пример
39.
Доказать,
что
функция
непрерывна в точке а=2(найти
).
Решение.
1-й способ. Поскольку
определена
при всех
значениях
R,
то
Е=
R и
(14) принимает вид:
Переходим к неравенству для значений функции:
(15)
Пусть
выполнено
неравенство
то
есть
Тогда
Если
теперь потребовать, чтобы выполнялось
неравенство
,
то
неравенство (15) также будет выполнено:
Итак,
для выполнения последнего неравенства
потребовалось,
чтобы
и
.
Поэтому
2-й
способ. Неравенство
для значений функции выполнено, если
выполнено неравенство
Последнее
неравенство, (квадратное относительно
)
выполнено, если
Таким образом,
Рис.1
3-й
способ. Найдём
по
графически (см. рис. 1) и получим такой
же результат, как для второго способа
(в этом легко убедиться самостоятельно).
Пример
40.
С
помощью «
»
рассуждений доказать непрерывность
следующих функций: 1)
:2)
.
Решение.
1).
Пусть
Тогда
если
.
Кроме того, должно выполняться условие
,откуда
и
При а=0
если
( в качестве окрестности нуля в множестве
Е=D(f)
берётся
).
2). Покажем, что для любых х и а
(16)
Из определения арктангенса и с помощью замены переменной получаем, что это неравенство равносильно неравенству
где
(17)
Если
х и а одного знака, то
Мы
воспользовались известным неравенством
Из него же следует справедливость (17)
для х и а разного знака. Из неравенства
(16)следует, что в качестве искомого
можно взять
:
если
,
то получаем, что
