Предел функции

Пусть Е- некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел, – предельная точка множества Е, - функция, определённая на Е.

Определение. Число называется пределом функции в точке , если

 >0   ). (9)

Предел функции в точке обозначается символом . Во всех рассматриваемых далее примерах функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , поэтому мы будем использовать символ . Определение предела в случае аналогично приведённому ( его можно найти в учебнике или конспекте лекций).

Определение. Функция есть бесконечно малая при , если

Функции и называются эквивалентными (f ~ g) при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где .

Определение. Функция есть бесконечно малая относительно при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где При этом пишут Если при этом g- бесконечно малая, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g.

Справедливы следующие предложения.

1. при .

2. при

Последнее правило не распространяется на суммы и разности функций, кроме отдельных случаев, например

3. Если , и , то

При вычислении пределов функций полезно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при :

1. ,

2.

3.

4.

5. ~ , ,

6. ~ , ,

7. ~ , ,

8. ~ , ,

9. ~ , ,

10. ~ , .

Пример 17. Доказать (найти ()), что .

Решение. Заметив, что квадратный трёхчлен имеет корни и , упростим исходное выражение:

.

Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид . Это неравенство будет выполняться, если Следовательно, можно взять

Пример 18. Найти предел .

Решение. При многочлены в числителе и знаменателе исходного выражения обращаются в нуль, следовательно, их пределы в точке равны нулю и мы имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение. Разложим многочлены в его числителе и знаменателе на множители, воспользовавшись тем, что является их корнем, с помощью группировки слагаемых или разделив их на х+2:

, .

Получаем Мы снова имеем неопределённость, так как при х = -2 числитель и знаменатель последней дроби обращаются в нуль. Разлагаем их на множители, сокращаем на общий множитель и находим предел: .

Пример 19. Найти предел

.

Решение. Имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение, умножив его числитель и знаменатель на множитель , сопряжённый к числителю.

Поскольку , то

.

Пример 20. Найти предел .

Решение. Подставив х=1 в выражения в числителе и знаменателе, убеждаемся в том, что имеется неопределённость вида . Воспользуемся формулами (3), (4). Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на множитель , дополняющий числитель до разности кубов (неполный квадрат суммы), и на множитель , сопряжённый к знаменателю. Получаем

Поскольку , , то

.

Пример 21. Найти предел .

Решение. Дважды применим приём умножения на сопряжённое выражение.

, поскольку при .

Далее,

.

Пример 22. Найти предел  .

Решение. Применим формулу (5) , положив в ней , . Умножив числитель и знаменатель исходной дроби на выражение и учитывая, что оно стремится к 5, получаем:

Пример 23. Найти предел .

Решение. 1-й способ. Сделаем замену переменной:

(10)

Воспользуемся формулой 9. ~ _{таблицы эквивалентностей:}

Возможен такой вариант рассуждения: по предложению 3 выражение в числителе последней дроби в формуле (10) эквивалентно , следовательно,

2-й способ. Сделаем замену переменной и воспользуемся вторым вариантом формулы 9 из таблицы эквивалентностей.

_.

Пример 24. Найти предел

Решение. Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем

Пример25. Найти предел

.

Решение. Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при , заменим их, кроме , на эквивалентные:

_.

Получаем

.

Пример 26. Найти предел .

Решение. 1-й способ. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х: . Тогда по арифметическим свойствам предела . По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:

2-й способ. Поскольку , то . Точно так же и при . Воспользовавшись этими соотношениями, получаем

.

Пример 27. Найти предел .

Решение. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель и учтём, что : . Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:

= .

.

Пример 28. Найти предел

Решение. 1-й способ. Преобразуем числитель исходного выражения:

Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел и табличные эквивалентности, получаем:

+ + =

+ + = + 1 +

2-й способ. Последовательно используя табличные формулы

при , получаем:

=

Пример 29. Найти предел

Решение. Сделаем подстановку и воспользуемся табличными формулами:

Пример 30. Найти предел

Решение. Сделаем подстановку :

(11)

Преобразуем выражение

Подставляем полученное выражение в (11):

Пример 31. Найти предел

Решение.

Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что есть бесконечно большая, а и - бесконечно малые при

Пример 32. Найти предел

Решение. Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня: Теперь используем табличное представление , где при , формулу приведения и то, что (непрерывность косинуса):

Пример 33. Найти предел

Решение. Величина является ограниченной, а x - бесконечно малой при . Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее, поэтому ; . Отсюда

Пример 34. Найти предел

Решение. Воспользуемся тем, что если , то В нашем случае , Тогда