19) Принцип максимума.

Пусть объект управления описывается системой уравнений .или в векторной форме ,где -вектор координат состояния, -вектор координат управления. Основная задача оптимального управления: среди всех допустимых управлений, переводящих динам. Сис-му из начального положения x0 в конечное x1, найти оптимальное. Для определения критерия оптимальности рассмотрим функционал .Он должен достигать минимума.

Принцип максимума Понтрягина основан на установлении связи оптимизируемого функционала J с динамикой процесса. Эта связь устанавливается через функцию Гамильтона ,где удовлетворяет уравнениям ,j=0,1,..,n. Принцип максимума Понтрягина состоит в том, что для оптимального управления и соответствующих координат ,для которых критерий J имеет минимальное значение, функция Гамильтона H имеет максимум(по аргументу U).

Функции H(y, x, и) ставится в соответствие каноническая (гамильтонова) система (относительно y, х) .

20) Теорема о числе переключений.

(Следствие принципа максимума)

(Для уст. Систем)

Для того, чтобы линейная динамическая система порядка n, имеющей различные не положительные корни характеристического уравнения, перевести за минимальное время из одного состояния в другое, требуется не более n интервалов управления (не более n-1 переключения)

Причём на каждом из интервалов управляющее воздействие равно либо +U_max , либо -U_max

21) Определение моментов переключения.

1. U(t) – задаётся явная зависимость от времени

2. U – задаётся как ф-ия переменных состояние U(x1…xn)

Рассмотрим схему

Требуется перевести систему из одного состояния в другое за минимальное время.

Св-ва управляющего воздействия

1.U(t) либо +Uм либо –Uм

2. Имеются 2а интервала управления.

Можно решить методом фазовой плоскости?

F(X,

F(X,

= p; F(x,P, )=0

x=c-

x=0, x1=0, ->c=0

x=-

22) Принцип оптимальности.

Каждый конечный участок оптимальной траектории есть оптимальная траектория (следствие аддитивности).

Принцип оптимальности (применения) – перевести систему из одного состояния в другое на интервале времени [0, T]. Критерий:

23) Дискретная форма динамического программирования.

Переход к дискретной системе : рассмотрим U,x в отдельных точках.

Будем искать приближенное значение U,x на интервалах

,

Рассм. – дифур. стало разностным уравнением

– дискретная задача

– ограничение

Метод динамического программирования – метод поиска наибольшего/наименьшего значения ф-ции многих переменных при наличии ограничения на переменные, ограничения в виде разностных уравнений.

Если ограничение общего вида, то этот метод не подходит.

Вместо сложной задачи решаем много простых задач поиска наиб./наим. значения ф-ции одного аргумента.Например необходимо найти методом градиента наиб./наим. значение.Задача общая, общего решения нет … Наш метод опред. решение.

Решение задачи начинается с конца траектории (с конечной точки )

Решение основано на принципе оптимальности

Шаг 1 для . Пусть - известно. Тогда - разностное уравнение. Для каждого находим оптимальное значение .

Уравнение становится относительно корней - необходимо выбрать оптимальное уравнение:

Итоги шагов: Шаг 1 для

Шаг 2 для . Пусть .Тогда .

Дискретный критерий начиная с движемся оптимально + .Из 4-ёх аргументов получили 3.

Шаг 2 для . ИТОГ:

Далее доходим до шага, где -известно, потом пойдем в обратном направлении

ПРИМЕР: 10 x(0) =1, x(T) =10 T=3

Оптимальным способом перевести систему из нач. сост. в конечное за 3 секунды, чтобы критерий принял минимальное значение. Принять =1. Разностное уравнение:

Шаг 1. Для . Пусть . Разн. уравнение:

, . Найти оптимальное управляющее воздействие:

x(T) = =10 Итог:

Шаг 2. Для . Пусть . Разн. уравнение:

, начиная с движение оптимально =

-приравниваем к 0

Итог :

Шаг 3. Для . Пусть . Разн. уравнение:

, начиная с движение оптимально =

Ищем оптим. для каждого -приравниваем к 0 . Итог :

Движемся в обратную сторону:

Для непрерывных систем : -

Для диф-я 2-го порядка решение усложняется. Метод динамического программирования применим в комбинаторных задачах.