Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой.  Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования:

• Если функция константа, т.е. y = C, где C - число, то (С)=0 .

• Если функции u и v дифференцируемы в точке x, то (v+u)=v+u.

• Если функция Cu , где C - постоянная, дифференцируема в точке x, то (Сu)=Сu .

• Если функции u и v дифференцируемы в точке x, то (uv)=uv+uv.

• Если функции u и v дифференцируемы в точке x и v(x)=0, то (vu)=v2uv−uv.

Геометрический смысл производной

Ключевые слова: геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf(x0+x)−f(x0)=tg, где  - угол наклона секущейAB.  Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.  Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.  Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует:

производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.

В этом и состоит геометрический смысл производной.

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t₀  до  t₀ +   точка перемещается на расстояние:  x ( t₀ +  )  x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна:  v_a =  . При    0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t₀ )  материальной точки в момент времени  t₀ . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).

Правила дифференцирования общих функций

Таблица производных

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Пусть нам известно значение функции y₀=f(x₀) и ее производной y₀' = f '(x₀) в точке x₀. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x₀)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x₀), то f(x) – f(x₀)≈f'(x₀)·Δx.

Откуда

f(x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·Δx

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производнойфункции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.

     Формула Тейлора 

(R_n(x) - остаточный член формулы Тейлора).