- •Методы Оптимизации
- •1) Общая постановка задачи математического программирования.
- •2) Метод неопределенных множителей Лагранжа при поиске максимальных значений функций.
- •3) Линейный функционал.
- •4) Понятие вариации функционала.
- •5) Вычисление вариации функционала.
- •6) Постановка задачи Эйлера.
- •7) Уравнение Эйлера.
- •8) Пример использования уравнения Эйлера для поиска оптимального управления.
- •9) Понятие близости кривых.
- •10) Уравнение Эйлера-Пуассона.
- •11) Пример использования уравнения Эйлера-Пуассона в теории оптимального управления.
- •12) Вариационные задачи с подвижными границами. Пример в теории управления.
- •13) Вариационные задачи на условный экстремум.
- •14) Множители Лагранжа в вариационном исчислении.
- •15) Пример использования множителей Лагранжа для поиска управлений.
- •16) Понятие переменных состояния.
- •17) Постановка задачи оптимального управления.
- •18) Линеаризация дифференциальных уравнений и ее использование при получении принципа максимума.
- •19) Принцип максимума.
- •20) Теорема о числе переключений.
- •21) Определение моментов переключения.
- •22) Принцип оптимальности.
- •23) Дискретная форма динамического программирования.
- •24) Учет ограничений в методе динамического программирования.
- •25) Постановка задачи линейного программирования.
- •26) Определение моментов переключения.
- •27) Симплексный метод.
- •28) Геометрическая интерпретация симплексного метода.
- •29) Учет ограничений типа неравенств в линейном программировании.
- •Дополнительные материалы
Методы Оптимизации
65
1) Общая постановка задачи математического программирования.
Найти наибольшее и наименьшее значения y при ограничениях:
, i=1,2,…,k; , j=1,2,…,l;
Ограничения бывают типа равенств и неравенств.
2) Метод неопределенных множителей Лагранжа при поиске максимальных значений функций.
Найти экстремальные значения y при наличии ограничений типа равенств:
1) Образуем функцию Φ.
от n+k – переменных.
2) Ищем экстремум функции Ф.
3) Пусть M - точка установленного экстремума,
тогда М*= - точка установленного экстремума функции Ф.
2 этапа решения задач:
1) ищется условие оптимальности
2) технический этап – решение уравнений
1-ый способ общий, 2-ой не всегда реализуем.
3) Линейный функционал.
Переменная величина I называется функционалом, зависящим от функции y=y(x), что обозначается так: , если каждой функции из некоторого класса функций соответствует значение I, т.е. имеет место соответствие: функции соответствует число I.
Линейным функционалом называется функционал , удовлетворяющий условиям:
1) , где с – произвольная постоянная
2)
4) Понятие вариации функционала.
Переменная величина I называется функционалом, зависящим от функции y=y(x), что обозначается так: , если каждой функции из некоторого класса функций соответствует значение I, т.е. имеет место соответствие: функции соответствует число I.
Приращением или вариацией функционала называется разность между двумя функциями . При этом предполагается, что меняется произвольно в некотором классе функций.
Если приращение функционала можно представить как
, где – вариация аргумента, - линейный по отношению к функционал, - максимальное значение и при , то линейная по отношению к часть приращения функционала, т.е. , называется вариацией функционала и обозначается .
Вариация функционала – главная линейная по отношению к ) часть приращения функционала.
5) Вычисление вариации функционала.
Порядок вычисления вариации функционала:
1. Заменяем аргумент: , где – вариация аргумента;
2. Вычисляем частную производную по ;
3. В полученном выражении полагаем , находим вариацию функционала
6) Постановка задачи Эйлера.
Задача – провести через две точки оптимальную кривую. В задаче Эйлера формируется критерий оптимальности:
Для задания критерия выбираем функцию от трех вещественных аргументов: или Выполнив преобразования аргументов, получим функцию от одного вещественного аргумента.
Итак, нужно выбрать такую кривую, которая является экстремумом от функционала.
Условие экстремума: одинаковый знак приращения при изменении аргумента, т.е. .
7) Уравнение Эйлера.
Исследуем на экстремум функционал: для решения задачи Эйлера. Для начала найдем вариацию функционала по трем этапам (см. вопрос №5). Получим:
. Полученный функционал является линейным. Теперь применим условие экстремума ( ): - это основная лемма вариационного исчисления, т.е. если мы имеем некий функционал равный нулю при любом , то и . Нужно привести условие экстремума к виду этой леммы, т.е. при Преобразуем выражение (1) и получим:
Мы получили дифференциальное уравнение относительно Это уравнение Эйлера, которое позволяет решить задачу Эйлера. Интегральные кривые уравнения Эйлера называют экстремалями.