- •Геометрический смысл производной
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •1.3.5. Монотонность функций
- •Асимптоты
- •Построение графиков функций
- •16.3. Интегрирование иррациональных функций
- •I. Задача о массе стержня
- •Понятие определенного интеграла и его вычисление.
- •Вычисление объемов тел
- •Вычисление площади поверхности вращения.
- •Полный дифференциал
- •"Полный дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков"
- •Примеры решения задач
- •"Экстремум функции двух переменных"
- •Примеры решения задач
- •Вычисление двойных интегралов
- •"Криволинейные интегралы"
- •Свойства криволинейного интеграла II рода
- •Вычисление криволинейного интеграла II рода
- •Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнения (оду)
- •Однородные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Числовые ряды.
- •Конечна.
- •Простейшие свойства числовых рядов.
- •1. Линейность.
- •2. На сходимость ряда не влияет изменение первых членов ряда:
- •"Ряды Фурье"
- •Сложение и вычитание
- •Умножение комплексных чисел
- •Геометрическое изображение комплексных чисел
- •Тригонометрическая форма комплексного числа, формула
Асимптоты
Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий
, |
Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если
Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.
Построение графиков функций
Мы изучили графики элементарных функций. При построении графиков функций более сложного вида можно примерно придерживаться следующего плана.
-
Найти область определения и область значений функции.
-
Выяснить, является ли функция четной (нечетной).
-
Выяснить, является ли функция периодической.
-
Найти точку пересечения графика функции с осью ординат.
-
Найти нули функции и промежутки знакопостоянства.
-
Вычислить производную функции и определить точки, в которых могут существовать экстремумы.
-
Найти промежутки монотонности функции.
-
Определить экстремумы функции.
-
Вычислить вторую производную
-
Определить точки перегиба.
-
Найти промежутки выпуклости функции.
-
Найти асимптоты графика.
-
Найти значения функции в нескольких контрольных точках.
-
Построить эскиз графика функции.
Свойства неопределенного интеграла
1°. Производная от н.и. равна подынтегральной функции, а дифференциал — подынтегральному выражению:
2°.в частности,
Свойства 1°, 2° следуют из определения н.и.
3°. Н.и. от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме н.и. от каждого слагаемого.
Докажем, что(Равенство понимается с точностью до постоянного слагаемого.) Действительно, по 1°:
Таким образом,
левая и правая части имеют одинаковые производные и могут отличаться лишь постоянной
4°. Постоянный множитель можно выносить за знак н.и.:
5°. Независимость вида н.и. от выбора аргумента (инвариантность формы интеграла):где имеет непрерывную производную. Действительно, по свойству инвариантности формы дифференциала:
Частным случаем 5° является= F(ax + b) + с.
Очевидно, учитывая, что d(ax + b) = a dx, получаем формулу
Таблица основных неопределенных интегралов перед Вами:
Интегрирование рациональных функций |
|
Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) – полиномы, используется следующая последовательность шагов:
целое выражение;
выражений;
используя метод неопределенных коэффициентов;
Рассмотрим указанные шаги более подробно. Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочленP(x) на Q(x). Получим следующее выражение: где - правильная рациональная дробь. Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней. Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Запишем рациональную функцию в следующем виде: Общее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов. Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей. Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:
У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат: где Затем применяются следующие формулы:
Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции
|
Пример 1 |
|
Вычислить интеграл . Решение. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:
Следовательно,
Тогда
Теперь легко вычислить исходный интегр
|