4.4. Силы давления жидкости на твердые поверхности

В общем случае сила, с которой жидкость действует на твердую поверхность S, равна сумме элементарных сил dР, действующих на малых площадках dS, составляющих эту поверхность (рис. 4.5).

Если n — единичный вектор нормали к поверхности S, внешний к объему жидкости, а р — давление на площадке dS, то сила dP = рп dS.

Суммируя силы dP, получаем выражение для главного вектора

называемого силой давления жидкости на поверхность S, и выражение для главного момента

где r—радиус-вектор площадки dS относительно центра приведения системы сил.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Равномерное давление на плоскую стенку (р = const, n = const).

В этом случае суммируемые векторы dP составляют систему параллельных и одинаково направленных сил, которую всегда можно свести только к силе давления Р. При р = const и п = const из выражения (4.25) получаем

Р = pnS. (4.27)

Линия действия силы Р проходит через центр масс. площадки S.

Равномерное давление может создаваться покоящимся газом, так как

Рис. 4.5. Схема для определения силы давления покоящейся жидкости на твердую поверхность

Рис. 4.6. Схемы, иллюстрирующие «гидростатический парадокс»

Рис. 4.7. Схема для определения силы равномерно распределенного давления жидкости на криволинейную поверх­ность

благодаря его малой плотности можно пренебречь весовым дав­лением и считать давление одинаковым во всех точках газа.

Равномерное давление может создаваться и капельной жид­костью, например, при ее воздействии на горизонтальные пло­щадки в, случае абсолютного покоя или движения сосуда с уско­рением вверх или вниз. При равномерном давлении Р = pS. Например, для схемы, показанной на рис. 4.6, давление на дне p = p₀ + gh₀, а сила Р = (р₀ + gh₀) S. Заметим, что сила давления на дно не зависит от формы сосуда («гидростатический парадокс»).

2. Равномерное давление на криволинейную стенку (р = const, n  const).

В этом случае элементарные силы dP имеют разные направле­ния. Главный вектор Р системы вычисляется через свои проекции. Чтобы найти его проекцию Р_х на ось х, спроектируем на эту ось векторы dP (рис. 4.7):

где dS_x — проекция площадки dS на плоскость, нормальную оси х.

Искомая величина Р_х при р = const

Линия действия силы Р_x проходит через центр масс площади проекции S _x. Таким образом, проекция на направление оси х силы Р равномерного давления жидкости на криволинейную поверхность S равна произведению давления на площадь проек­ции S _x, этой криволинейной поверхности на плоскость, нормаль­ную оси x. Если такие проекции на три взаимно ортогональные оси пересекаются в одной точке, то систему сил dP можно свести только к силе

Рис. 4.8. Схемы для определения силы неравномерно распределенного давления жидкости, действующего:

а—на плоскую стенку; б — на криволинейную поверхность

направление которой определяется направляющими косинусами

Если составляющие не пересекаются в одной точке, то система сводится к силе и моменту.

3.Неравномерное давление на плоскую стенку (р = const, n  const).

Систему элементарных сил dP, одинаковых по направлению, но различных по величине, можно свести в данном случае к одной силе

(4.31)

где S — площадь стенки.

Величина этой силы

(4.32)

зависит от закона распределения давления р по площадке S. При воздействии на S капельной жидкости эти законы могут быть различными. Их конкретный вид зависит от ориентации площадки и действующих на жидкость массовых сил при абсолютном и относительном, покое.

Вычислим силу Р, действующую на площадку S, составляющую часть наклонной стенки резервуара. Ось х расположим вдоль линии пересечения стенки со свободной поверхностью, а ось y –в плоскости стенки (рис. 4.8, а). Для наглядности плоскость стенки повернем вокруг оси у на 90° и совместим ее с плоскостью чертежа. Пусть х и у — координаты центра масс элементарной площадки dS,

а h — его заглубление под свободную поверхность. Согласно уравнениям (4.32) и (4.12)

Сила Р_вн = ₀S является силой внешнего давления, равномерно распределенного по площадке S, и ее линия действия проходит через центр масс этой площадки. Сила Р_вс = ρg h dS является силой весового давления, распределенного неравномерно, и так как h = у sin , то

-- статический момент площади S относительно оси х.

Поскольку J = y_cS, где у_с координата площадки S, получим

где h_С — заглубление центра масс С под свободную поверхность.

Таким образом,

Р = p₀S + ρgh_c S, (4.34)

т. е. полную силу давления жидкости на плоскую стенку можно вычислить как сумму сил внешнего и весового давлений. Последняя, согласно выражению (4.33), равна произведению площади S на весовое давление в ее центре масс.

Линия действия силы Р_вс проходит через некоторую точку D, называемую центром давления. Для определения его координат составим уравнение, выражающее теорему о равенстве момента равнодействующей и суммы моментов составляющих:

где r_D и r — радиусы-векторы соответственно точки D текущей точки площадки S; р_вc = gH — весовое давление в текущей точке.

По правилам составления проекций векторного произведения находим

Учитывая формулу (4.33), а также то, что p_вс = gh = gy sin, из последних выражений получаем

Более удобные выражения для x_D и у_D найдем, если воспользуемся теоремой о соотношении между моментами инерции, взятыми относительно параллельных осей:

где x_C и y_C — координаты центра масс С в системе xу; J_xу, момент инерции площади S относительно осей х' и у'; х',у' – оси координат проходящие через центр масс С площадки S параллельно осям x и y; J_x момент инерции площади S относительно оси х'.

Окончательно

Вторая из формул (4.37) показывает что центр весового давления расположен под центром масс на раcстоянии J_x /(y_CS).

4. Неравномерное давление на криволинейную твердую поверхность (р  const, n  const).

Такое давление может создать тяжелая жидкость при абсолютном или относительном покое. Элементарные силы dP составляют в этом случае самую общую систему, которая сводится к силе давления Р [см. (4.25)] и моменту [см. (4.26)]. Oднако существуют частные случаи, когда система сводится к одной силе давления Р, например, если линии действия элементарных сил пересекаются в одной точке (сферическая стенка).

Рассмотрим криволинейную поверхность S, находящуюся, под действием внешнего избыточного давления р_0и и весового давления gz (рис. 4.8, б). Как было показано в предыдущем пункте, задачу определения силы давления можно расчленить, определяя раздельно силы весового и внешнего давлений. Кроме того, ее можно свести к определению только силы весового давления, заменив внешнее давление действием эквивалентного слоя жидкости.

Силу весового давления Р определим по ее проекциям. Горизонтальная проекция

где dS_x = dS cos (n, х) проекция площадки dS на вертикальную плоскость нормальную к оси x

Последний интеграл представляет собой статический момент площади S_x относительно оси y. Следовательно,

(4.38)

где z_Cx — координата центра масс площадки S_x.

Аналогично получим

P_y = gz_CyS_y (4.39)

где S_y — площадь проекции криволинейной поверхности на плоскость, нормальную оси у.

Таким образом, чтобы вычислить горизонтальную проекцию P_i (i = х, у) силы весового давления жидкости на криволинейную поверхность, следует площадь S_i проекции этой поверхности на плоскость, нормальную к рассматриваемой горизонтальной оси, умножить на давление в центре масс площади S_i.

Проекция силы весового давления на вертикальную ось

Р_z = g = g (4.40)

где S_z— проекция на плоскость хОу поверхности S.

Последний интеграл представляет собой объем W_т.д. тела, ограниченного поверхностью S, цилиндрической боковой поверхностью S_δ с вертикальными образующими и проекцией S_z, криволинейной поверхности S на свободную поверхность жидкости.

Это тело называется телом давления, а величина pg , есть вес жидкости в нем.

Таким образом, вертикальная проекция силы весового давления на криволинейную поверхность равна весу жидкости в объеме тела давления:

Сила Р определяется формулой

а направление линии ее действия — направляющими косинусами

Если Р_x, Р_у, Р_z. пересекаются в одной точке, то система сил сводится к силе давления, проходящей через эту точку.

Возможны два случая взаимного расположения криволинейной поверхности в жидкости (рис. 4.9): а) жидкость расположена над поверхностью; тело давления заполнено жидкостью и условно считается положительным, а вертикальная составляющая Р_z, силы Р направлена вниз; б) тело давления не заполнено жидкостью и считается отрицательным; вертикальная сила Р, направлена вверх.

а) б)

Рис. 4.9. Тела давления: a) положительное; б) отрицательное

Рис. 4.10. Схема для определения вертикальной силы, действующей на замкнутую криволинейную поверхность, полностью погруженную под уровень жидкости

Если криволинейная поверхность замкнута и полностью погружена под уровень абсолютно покоящейся жидкости (рис. 4.10), то действие последней сводится к одной вертикальной силе. Действительно, используя изложенный выше прием определения горизонтальных проекций силы давления, приходим к выводу, что вдоль любой горизонтальной оси на поверхность погруженного тела действуют две равные по величине и противоположные по направлению силы, которые взаимно уравновешиваются.

Чтобы найти вертикальную силу, спроектируем поверхность S на свободную поверхность жидкости. Проектирующие вертикали отметят на поверхности тела замкнутую линию l, которая делит поверхность S на две части: верхнюю S_в и нижнюю S_н. Для верхней части тело давления положительно и соответствующая ему сила направлена вертикально вниз, а для нижней — тело давления отрицательно и сила направлена вверх. Обозначив объемы этих тел давления соответственно через W_в, и W_н., найдем результирующую вертикальную силу A:

.

где W_ ,—объем тела.

Таким образом, сила давления покоящейся жидкости на погруженное в нее тело направлена вертикально вверх и равна весу жидкости в объеме тела. Этот результат составляет содержание закона Архимеда*; сила А называется архимедовой или гидростатической подъемной силой. Если G — вес тела, то его плавучесть определяется соотношением сил А и G . При G > А

_________________________________________________________

Архимед (287—212 до н. э.) — древнегреческий ученый, математик и механик. Оставил после себя многочисленные труды по вопросам математики, механики, гидростатики. Наиболее известны законы рычага, способы вычисления длин кривых, законы гидростатики.

тело тонет. При G < A всплывает, при G= A плавает в состоянии безразличного равновесия. Следует иметь в виду, что линии действия сил G и A могут не совпадать, так как линия действия веса G проходит через центр масс тела, а линия действия архимедовой силы A — через центр его объема. При неравномерном распределении плотности тела может появиться момент, способствующий опрокидыванию тела.

В заключение заметим, что силу давления жидкости на криволинейную поверхность при относительном покое можно определить общим способом суммирования элементарных сил давления, применительно к заданной форме поверхности и условиям относительного покоя.