4.3. Относительный покой жидкости

Состояние, при котором жидкость покоится относительно стенок резервуара, движущегося с постоянным ускорением относительно Земли, называют обычно относительным покоем. Выбирая систему координат, жестко связанную со стенками резервуара, приходим к статической задаче, основой для решения которой служат уравнения Эйлера (4.1). В соответствии с известным принципом механики при использовании уравнений равновесия в системе координат, которая движется с ускорением, необходимо в число действующих массовых сил включить также силы инерции. Имея это в виду, рассмотрим два случая относительного равновесия.

1. Равновесие жидкости в цилиндрическом сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси.

Рассмотрим состояние жидкости в сосуде (рис. 4.4, а) по истечении достаточного времени после начала вращения, когда достигнут относительный покой. Выберем оси координат, как пока­зано на рис. 4.4, а, и применим к жидкости дифференциальное уравнение гидростатики в форме (4.9). В число массовых сил наряду с силой тяжести F_g = g необходимо включить центробежную силу инерции

где v окружная скорость жидкой частицы, находящейся в произвольной точке М (х, у); r— радиус вращения частицы, r⁰— единичный вектор радиаль­ного направления;  — угловая скорость сосуда.

Для проекций на оси координат результирующей массовых сил получим выражения

F_z = –g.

Подставляя эти выражения в уравнения (4.9), получаем

или

После интегрирования находим

Полагая р = const, из выражения (4.17) получаем уравнение изобарических поверхностей

Как следует из формулы (4.18), эти поверхности представляют собой конгруэнтные параболоиды вращения с осью z. Одним из таких параболоидов является свободная поверхность жидкости.

Обозначим через z₀ координату вершины параболоида свободной поверхности (рис. 4.4, a). Так как в вершине х = у = 0, С₁ = gz₀ и уравнение свободной поверхности согласно выражению (4.18) имеет вид

Если внешнее давление равно p₀, то, задавая в уравнении (4.17) р = p₀, х = у = 0, z = z₀, находим постоянную С = p₀ +gz₀. Тогда закон распределения давления можно выразить формулой

Для произвольной точки М с координатами х, у, z выражение в скобке представляет собой заглубление h точки М под свободную поверхность. Таким образом,

т. е. справедлив линейный (гидростатический) закон распределения давления по глубине, которая в данном случае отсчитывается от криволинейной свободной поверхности.

2. Равновесие жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно с постоянным ускорением.

Рассмотрим равновесие жидкости в сосуде, движущемся с уско­рением а вдоль прямой MN, наклоненной к горизонту под уг-

лом α (рис. 4.4, б). К массовым силам наряду с силой тяжести в данном случае относится сила инерции F_i = —а = j, направленная противоположно ускорению сосуда. В системе координат, показанной на рис. 4.4, б, проекции массовых сил

Подставляя эти выражения в уравнение равновесия (4.9), получаем

а после интегрирования

Полагая в уравнении (4.21) p = const. получаем уравнение изобарических поверхностей

Уравнение (4.22) дает семейство плоскостей, параллельных оси у. Одной из этих плоскостей является свободная поверхность. Обозначим через z₀ координату точки пересечения свободной поверхности с осью z. Подставив в формулу (4.22) х = 0 и z = z₀, находим C₁ == для свободной поверхности. Уравнение этой поверхности имеет вид

Если сосуд движется без трения только под действием силы тяжести, то j = g sin и  = 0, т. е. свободная поверхность параллельна плоскости MN.

Полагая в формуле (4.21) х = 0, z = z₀ и р = р₀, находим произвольную постоянную

Закон распределения давления имеет вид

p = p₀ + (j – g sin) x + (z₀ - z) (4.24)