4.2. Основная формула гидростатики. Закон паскаля. Понятие о напоре

Рассмотрим абсолютный покой несжимаемой жидкости в поле силы тяжести. Выберем оси координат, как показано на рис. 4.1, и найдем вид потенциальной функции Ф. Поскольку из массовых сил действует только сила тяжести, то при выбранной системе координат

Таким образом, искомая функция Ф зависит только от одной переменной z. В результате интегрирования последнего равенства получаем

Ф = gz+ С, (4.I0)

где С—произвольная постоянная.

Следовательно, потенциальная функция для силы тяжести линейно зависит от вертикальной координаты. Нетрудно убедиться, что функцию Ф можно истолковать как потенциальную энергию положения, отнесённую к единице массы, поэтому она должна быть возрастающей при направлении оси z вертикально вверх. Этим обусловлен знак минус в формуле (4.3). Подставив найденное для Ф выражение в равенство (4.4) и разделив его на g, получим

z + p/(g) = const. (4.11)

Эта формула выражает гидростатический закон распределения давления, состоящий в том, что в тяжелой (подверженной действию сил тяжести) несжимаемой жидкости давление линейно зависит от вертикальной координаты.

Рис. 4.1. Схема для вывода основной формулы гидростатики

Чтобы найти постоянную в уравнении (4.11), надо использовать какое-нибудь граничное условие. Пусть, например, жидкость покоится в резервуаре (рис. 4.1), причем на ее свободной поверхности давление равно р₀. Назовем это давление внешним. Для точек свободной поверхности

.

Вычитая это соотношение из уравнения (4.11), находим

или, обозначив (z₀ — z) через h (заглубление точки М под свободную поверхность), получим основную формулу гидростатики

где величина gh называется весовым давлением.

Из формулы (4.12) следует, что всякое изменение внешнего давления р₀ вызывает изменение давления во всех точках покоящейся жидкости на то же значение. Этот вывод известен как закон Паскаля *.

Если жидкость находится в ненапряженном состоянии, т. е. в ней отсутствуют напряжения сжатия, то р₀ = 0. Значения р, отсчитанные от этого нуля, называют иногда абсолютным давлением.

В технике часто представляет интерес избыток давления р над атмосферным p_ат, который называется избыточным или манометрическим давлением p_и. По определению

Для произвольной точки М, заглубленной на величину h под свободную поверхность, избыточное давление

откуда следует, что избыточное давление совпадает с весовым, если давление на свободной поверхности равно атмосферному (т.е. р₀ = p_ат ).

Если все члены формулы (4.12) разделить на g, то они будут иметь линейную размерность:

Отсюда следует, что каждому давлению р соответствует линейная величина p/(g), которая представляет собой высоту столба жидкости, создающего в своем основании данное давление. Это наглядно иллюстрируется схемой, показанной на рис. 4.2. Если на свободной поверхности в резервуаре давление р₀, а из

____________________

 Блез Паскаль (1623—1662) — выдающийся французский математик, физик и философ. Кроме ряда математических работ написал “Трактат о равновесии жидкостей”, в котором решил некоторые задачи гидростатики, в частности сфор­мулировал принцип действия гидравлического пресса.

Рис. 4.2. Схема для определения приведенной h_пp, пьезометрической h_п и вакуумметрической h_в, высот

Рис. 4.3. Определение вакуумметрической высоты

запаянной сверху трубки А удален воздух, то под действием давления р_М = р₀ + gh жидкость в трубке поднимается над точкой М на некоторую высоту h_пp, называемую приведенной. Принимая приближенно, что на свободной поверхности в трубке давление равно нулю (в действительности оно равно упругости насыщенных паров жидкости при данной температуре и сравнительно невелико), согласно выражению (4.12) получим р_М = gh_пp. Следовательно, приведенная высота есть высота столба жидкости, на свободной поверхности которого давление равно нулю, а в основании — данному давлению жидкости.

Для трубки П, открытой в атмосферу и называемой пьезометром, получим

р_М = р_ат + gh_п,

откуда

Величину h_п называют пьезометрической высотой.

Если давление в точках какого-либо объема жидкости меньше атмосферного (р < р_ат). то такое состояние называют вакуумом. Для его характеристики вводится понятие вакуумметрического давления (р_в), под которым подразумевается недостаток данного давления до атмосферного:

Соответствующая высота называется вакуумметрической:

На рис. 4.2 и 4.3 показаны вакуумметрические высоты для капельной жидкости и газа.

Давление измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади. В системе СИ единицей давления служит паскаль (Па; 1 Па = 1 Н/м²), а в технической системе техническая атмосфера (ат; 1 ат = 1 кгс/см²).

Кроме того, давление можно измерять в единицах длины столба данной жидкости. При этом следует пользоваться формулой h = p/(g). При выражении давления высотой столба жидкости чаще всего применяют метры водяного столба, миллиметры ртутного столба и миллиметры спиртового столба.

Гидростатический закон распределения давления, выраженный формулой (4.11), справедлив, очевидно, для любого положения координатной плоскости х0у. Эту плоскость называют плоскостью сравнения, а величины H_cт = z + p/(g)) — гидростатическим и Н_п = z + p/(g) — пьезометрическим напорами. Из формулы (4.11) следует, что напоры H_cт и Н_п постоянны для всех точек данной массы покоящейся жидкости.