5. Общие уравнения и теоремы динамики жидкости
_________________________________________________________
5.1. Обобщенная гипотеза ньютона о связи между напряжениями и скоростями деформаций
Уравнения (3.10) движения жидкости в напряжениях, образуют незамкнутую систему. Недостающие уравнения устанавливаются на основе физических гипотез, выражающих экспериментально определенные свойства, сплошных сред.
Для жидкостей и газов такой фундаментальной гипотезой служит обобщение на случай произвольного движения этих сред закона вязкого трения, выраженного формулой (1.11). Чтобы подойти к обоснованию этого обобщения, сформулируем некоторые известные данные о свойствах жидких и газовых сред:
напряжение на произвольной площадке в общем случае можно разложить на нормальную и касательную составляющие;
если касательные напряжения равны нулю, т. е. вектор напряжения нормален к площадке, то его величина не зависит от ориентации площадки и представляет собой давление;
касательные напряжения порождаются только вязкостью.
Кроме того, можно показать, что вязкостные напряжения, возникающие при сдвиге одного слоя жидкости относительно другого, не только порождают касательные напряжения на произвольных площадках, но и влияют на значение нормальных напряжений.
Имея в виду эти замечания, допустим, что можно представить вектор рn напряжения в точке как сумму двух составляющих, одна из которых kn, обусловлена только вязкостью и не зависит от давления, а другая, зависящая от давления, нормальна к площадке и потому может быть представлена в виде Nn, где N — скаляр (рис. 5.1). Таким образом,
Запишем выражение (5.1) применительно к трем взаимно ортогональ-
Рис. 5.1. Схема для обоснования зависимости между напряжениями и скоростями деформации в вязкой жидкости
ным площадкам, проходящим через одну точку и расположенным в координатных плоскостях (см. п. 3.1),
и выпишем проекции на координатные оси полных напряжений:
(5.2)
Согласно закону Ньютона вязкостные напряжения при прямолинейном движении жидкости пропорциональны скоростям угловых деформаций.
Обобщением этого факта на случай произвольного движения является гипотеза о том, что касательные напряжения, а также зависящие от ориентации площадок части нормальных напряжений пропорциональны соответствующим скоростям деформаций. Иными словами, предполагается во всех случаях движения жидкости линейная связь между вязкостными напряжениями и скоростями деформаций. При этом коэффициентом пропорциональности в формулах, выражающих эту связь, должен быть динамический коэффициент вязкости , так как для прямолинейного движения эти формулы должны превращаться в формулу Ньютона (1.11) для вязкостного напряжения.
Таким образом, высказанное гипотетическое утверждение можно выразить формулами:
(5.3)
Чтобы определить введенную выше скалярную величину N, найдем среднее арифметическое из нормальных напряжений на трех площадках, расположенных в координатных плоскостях. Согласно выражениям (5.2)
откуда с учетом формул (5.3)
(5.4)
Можно показать (доказательство здесь не приводится), что в данной точке жидкости сумма рхх + руу + рzz имеет одно и то же значение для любых трех взаимно ортогональных площадок, проходящих через точку, т. е. не зависит от ориентации этих площадок. Иными словами, эта сумма обладает свойствами давления, а потому уместно принять гипотетическое утверждение о том, что среднее арифметическое из нормальных напряжений на трех взаимно ортогональных площадках, проходящих через одну точку, есть взятое с обратным знаком гидродинамическое давление в этой точке, т. е.
(5.5)
и, следовательно,
Зависимость (5.5) нельзя строго доказать, она представляет собой гипотезу, которую можно считать косвенно подтвержденной всей практикой современной гидромеханики, поскольку пока нет фактов, опровергающих эту гипотезу. Теперь окончательные выражения для нормальных и касательных напряжений в вязкой жидкости можно записать в виде
(5.6)
Для несжимаемой жидкости div u = 0, и выражения для нормальных напряжений упрощаются:
(5.7)
Таким образом, соотношениями (5.6) устанавливаются зависимости между напряжениями в вязкой жидкости и скоростями деформаций. Они позволяют исключить из уравнений движения (3.10) все компоненты тензора напряжений, заменив их давлением р и скоростями деформаций.