4 .6 Вычисление теоретического коэффициента концентрации напряжений и оценка погрешности численного решения

Данную задачу рассмотрим как частный случай задачи 1. Вычислим номинальное напряжение по формуле:

подставляя значения с₁ =5 см, с₂ = 2 см, r = 1 см, р = 3 кН/см, h = 1 см. Получаем значение _nom = 42 МПа. Кстати, оно совпадает со средним напряжением в наиболее ослабленном сечении, вычисленным ранее по элементарным формулам сопротивления материалов.

Для отношения r/с₁ = 1/5 =0,2 по графику, приведенному в [3, с.807], получаем коэффициент концентрации К_n =2,7 . Максимальное теоретическое значение напряжения _x равно:

Теоретическое значение максимального напряжения больше рассчитанного по МКЭ в 1,06 раза, т.е. на 6 %. Погрешность численного решения обусловлена, во-первых, приближенным характером метода конечных элементов; при сгущении сетки численное решение приближается к точному. Во-вторых, напряжения вблизи концентратора изменяются с большим градиентом, что вносит значительные трудности при численном решении. В-третьих, нередко имеются погрешности самого теоретического решения (оно также может быть приближенным) и погрешности построения графиков.

4.7 Поправка результатов

В виду того, что при первом анализ пластины получилась погрешность 6%, было решено сделать дополнительный анализ. Для этого необходимо было увеличить количество элементов расчетной схемы.

В новой расчетной схеме были изменены координаты точек: 1-го узла X=0, Y=0, Z=0; 2-го узла X=0, Y=0, Z=7; 3-го узла X=15 , Y=0, Z=7 и 4-го узла X=15, Y=0, Z=0. Количество узлов по дуге – 15 (вместо 12), начальный и конечный углы дуги (-90 и 90˚ соответственно), радиус окружности – 1см. Центр окружности привяжем узлу заданием его координат X=0, Y=0, Z=5.

В результате получилось другое совместное отображение исходной и деформированной схемы.

Рисунок 17 - Совместное отображение исходной и деформированной схемы

Р исунок 18 - Карта нормального компонента x напряженного состояния

Рисунок 19 – Увеличенная карта нормального компонента x напряженного состояния

Рисунок 20 – Карта изополей напряжений для напряженного состояния

Максимальное напряжение:

.

Минимальное напряжение:

Коэффициент концентрации напряжений в данной задаче можно определить по формуле:

Отметим, что эта величина соответствует конечно-элементной схеме, состоящей из 2269 элементов и имеющей 1212 узлов.

Для отношения r/с₂ = 1/5 =0,2 по графику, приведенному в [3, с.807], получаем коэффициент концентрации К_n =2,7 . Максимальное теоретическое значение напряжения _x равно:

Т еоретическое значение максимального напряжения больше рассчитанного по МКЭ в 1,04 раза, т.е. на 4 %.

Таким образом, можно сделать вывод: для получения более точных результатов необходимо увеличивать количество конечных элементов, для получения наиболее достоверных результатов.

Учитывая вышесказанное, можно заключить, что рассмотренная расчетная схема дает достаточно точное для практики решение задачи.