Содержание
1. Задача 1…………………………………………………………………….3
2. Задача 2…………………………………………………………………….5
3. Задача 3…………………………………………………………………….7
4. Задача 4…………………………………………………………………….9
5. Задача 5……………………………………………………………………11
ЗАДАЧА 1. Оптимизация активов коммерческого банка
Собственные средства банка в сумме с депозитами составляют 100 млн. ден. ед. Часть этих средств, но не менее 35% должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, т.к. в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно. Ликвидными активами являются ценные бумаги, особенно государственные. Их можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль, или, во всяком случае, без убытка. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенном соотношении ликвидные активы − ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. Ликвидное ограничение таково: ценные бумаги должны составлять не менее 30% активов банка. Доходность кредитов в среднем 15%, доходность ценных бумаг в среднем 10%. Цель банка − получить максимальную прибыль.
Сформулировать математическую модель задачи как ЗЛП.
Определить оптимальную структуру активов банка и максимальную прибыль банка.
Решение:
Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель.
В данном случае банку необходимо спланировать размещение активов так, чтобы максимизировать прибыль. Поэтому переменными являются: х1 – часть средств банка, размещенная в кредитах, х2 – часть средств банка, размещенная в ценных бумагах. Суммарная прибыль от размещения средств равна z = 0,15*x1+0,1*x2. Целью банка является определение среди всех допустимых значений х1 и х2 таких, которые максимизируют суммарную прибыль, т.е. целевую функцию z. Ограничения, которые налагаются на х1 и х2:
1. Собственные средства банка в сумме с депозитами составляют 100 млн. ден. ед., следовательно, х1+х2 = 100
2. Кроме того, в кредитах должно быть размещено не менее 35% средств , то есть не менее 35 млн. ден. ед., а в ценных бумагах должно быть размещено не менее 30% средств , то есть не менее 30 млн. ден. ед.
Таким образом, математическая модель данной задачи имеет следующий вид:
Максимизировать функцию 0,15*x1+0,1*x2 при следующих ограничениях:
х1+х2 = 100;
х1≥35;
х2≥30.
Данная модель является линейной, т.к. целевая функция и ограничения линейно зависят от переменных.
Решение задачи с помощью MS Excel
1. Отведем ячейки A3 и ВЗ под значения переменных х1 и х2 (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Диапазоны, отведенные под переменные, целевую функцию и ограничения
2. В ячейку С4 введем функцию цели: =0,15*АЗ+0,1*ВЗ, в ячейки А6:А8 введем левые части ограничений: =А3; =ВЗ; =АЗ+ВЗ, а в ячейки В6:В8 – правые части ограничений (рис. 1.1).
3. Выбираем команду Сервис/Поиск решения и заполняем открывшееся диалоговое окно Поиск решения так, как показано на рис. 1.2. Для ввода ограничений нажимаем кнопку Добавить.
Рис. 1.2. Диалоговое окно Поиск решения
В диалоговом окне Параметры поиска решения устанавливаем флажок Линейная модель (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Диалоговое окно Параметры поиска решения
4. После нажатия кнопки Выполнить открывается окно Результаты поиска решения, которое сообщает, что решение найдено (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Диалоговое окно Результаты поиска решения
5. Результаты расчета задачи представлены на рис. 1.5, из которого видно, что оптимальным является размещение 70 млн. ден. ед (70% средств) в кредитах и 30 млн. ден. ед (30% средств) в ценных бумагах. Данное размещение активов банка принесет 13,5 млн. ден. ед. прибыли.
Рис. 1.5. Результаты расчета с помощью средства поиска решений для задачи оптимизации активов банка
Задача 2. Оптимизация параметров угольной смеси
Металлургическому заводу требуется уголь с содержанием примесей не более 0,03% и с долей золы не более 3,25%. Завод закупает три сорта угля: А, В и С с известным содержанием примесей, долей золы и ценой.
Сорт угля |
Содержание (доля), % |
Цена 1 т. тыс. руб. |
|
примесей |
золы |
||
А |
0,06 |
2,0 |
3,0 |
В |
0,04 |
4,0 |
3,0 |
С |
0,02 |
3,0 |
4,5 |
В каком соотношении необходимо смешивать уголь разных сортов, чтобы смесь удовлетворяла ограничениям на содержание примесей и золы и имела бы минимальную цену?
Сформулировать математическую модель задачи как ЗЛП.
Решение:
Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель.
В данном случае заводу необходимо подбирать соотношение угля так, чтобы минимизировать цену. Поэтому переменными являются: х1 – количество угля А, , х2 – количество угля В, х3 – количество угля С. Цена смеси z = 3*x1+3*x2+4,5*х3. Целью завода является определение среди всех допустимых значений х1, х2 и х3 таких, при которых цена смеси была бы минимальна. Ограничения, которые налагаются на х1, х2, х3:
1. Содержание примесей не должно превышать 0,03, следовательно 0,06*х1+0,04*х2+0,02*х3≤0,03.
2. Содержание золы не должно превышать 3,25, следовательно 2*х1+4*х2+3*х3≤3,25.
3. Так как переменная х – это доли, то х1+х2+ х3=1.
Таким образом, математическая модель данной задачи имеет следующий вид:
Минимизировать функцию 3*x1+3*x2+4,5*х3 при следующих ограничениях:
0,06*х1+0,04*х2+0,02*х3 ≤0,03;
2*х1+4*х2+3*х3 ≤3,25;
х1+ х2+х3=1.
Данная модель является линейной, т.к. целевая функция и ограничения линейно зависят от переменных.
Решение задачи с помощью MS Excel
1. Отведем ячейки A3 и ВЗ под значения переменных х1 и х2 (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Диапазоны, отведенные под переменные, целевую функцию и ограничения
2. В ячейку С4 введем функцию цели: =3*A3+3*B3+4,5*C3, в ячейки А6:А8 введем левые части ограничений: =0,06*A3+0,04*B3+0,02*C3; =2*A3+4*B3+3*C3; =A3+B3+C3, а в ячейки В6:В8 – правые части ограничений (рис. 1.1).
3. Выбираем команду Сервис/Поиск решения и заполняем открывшееся диалоговое окно Поиск решения так, как показано на рис. 2.2. Для ввода ограничений нажимаем кнопку Добавить.
Рис. 2.2. Диалоговое окно Поиск решения
В диалоговом окне Параметры поиска решения устанавливаем флажок Линейная модель (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Диалоговое окно Параметры поиска решения
4. После нажатия кнопки Выполнить открывается окно Результаты поиска решения, которое сообщает, что решение найдено (рис.2.4).
Рис. 2.4. Диалоговое окно Результаты поиска решения
5. Результаты расчета задачи представлены на рис. 1.5, из которого видно, чтобы смесь удовлетворяла ограничениям на содержание примесей и золы и имела бы минимальную цену необходимо смешивать уголь разных сортов в соотношении 1 : 4 : 7.
Рис. 2.5. Результаты расчета с помощью средства поиска решений для задачи оптимизации параметров угольной смеси