1. Побудувати дискретний розподіл частот і відносних частот.
Варіаційний ряд вибірки має вигляд
1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5.
Обсяг
вибірки становить
,
оскільки вона складається з 20 значень.
У вибірці 4 варіанти: 1, 3, 4, 5. Порахуємо
частоти, з якими варіанти входять у
вибірку та запишемо дискретний розподіл
частот вибірки:
|
1 |
3 |
4 |
5 |
|
4 |
8 |
6 |
2 |
Знайдемо відносні частоти:
Отже, розподіл відносних частот має вигляд:
|
1 |
3 |
4 |
5 |
|
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
Перевірка:
2. Побудувати полігон відносних частот дискретного розподілу.
Розв’язання. Для побудови полігону відносних частот скористаємося розподілом відносних частот
|
1 |
3 |
4 |
5 |
|
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
На
площині
зобразимо точки з координатами
та з’єднаємо їх відрізками. Отримуємо
шуканий полігон відносних частот.
3. Знайти емпіричну функцію розподілу і побудувати її графік.
Розв’язання. Емпіричну функцію шукаємо за формулою. Обсяг вибірки: .
При
оскільки найменша варіанта
Тому
При
лише варіанта
причому
Тому
при
.
При
варіанти
менші
,
причому
.
Тому
при
.
При
варіанти
менші
,
причому
.
Тому
при
.
При
і отже
Таким чином емпірична функція розподілу має вигляд:
Побудуємо графік цієї функції.
4. Знайти точкові оцінки математичного сподівання і дисперсії генеральної сукупності.
Розв’язання. Незміщеною оцінкою генерального середнього є вибіркове середнє, що обчислюється за формулою:
|
1 |
3 |
4 |
5 |
|
4 |
8 |
6 |
2 |
.
Точковою
зміщеною оцінкою
є вибіркова дисперсія
,
яку обчислимо за формулою:
Точковою незміщеною оцінкою є виправлена вибіркова дисперсія, яку обчислюємо за формулою:
;
.
5.
Побудувати довірчий інтервал для оцінки
з надійністю
математичного сподівання та середнього
квадратичного відхилення.
Розв’язання. Оскільки за умовою значення генерального середнього квадратичного відхилення невідоме, то довірчий інтервал для генерального середнього має вигляд:
.
Для
побудови довірчого інтервалу для
генерального середнього знайдемо
.
За
таблицею (дод. 3) для розподілу Стьюдента
за заданою надійністю γ = 0,95 і
знаходимо значення tγ = 2,093. Обчислимо
кінці довірчого інтервалу, якщо
,
,
:
;
.
Отже,
з надійністю 0,95 оцінюваний параметр
покривається інтервалом
.
Для
побудови довірчого інтервалу для
генерального середнього квадратичного
відхилення обчислимо значення
за таблицею (дод. 4):
.
Оскільки
,
то довірчий інтервал має вигляд:
<
σ <
.
Визначимо кінці інтервалу:
;
.
Отже,
довірчим інтервалом для σ з надійністю
γ = 0,95 є інтервал
.
Завдання 2.6. Знайти оптимальний план перевезень транспортної задачі.
Пункти відправлення |
|
Пункти призначення |
Запаси |
|||
|
|
|
|
|
||
|
7 110 |
12 70 |
4 |
8 |
5 |
180 |
|
1 |
8 20 |
6 120 |
5 80 |
3 130 |
350 |
|
6 |
13 |
8 |
7 |
4 20 |
20 |
Потреби |
110 |
90 |
120 |
80 |
150 |
|
Розв’язання. Задача закритого типу. Опорний план знайдемо методом північно-західного кута.
-
Запаси
7
110
12
70
4
8
5
180
1
8
20
6
120
5
80
3
130
350
6
13
8
7
4
20
20
Потреби
110
90
120
80
150
550
Допустимий план знайдено:
Кількість базисних змінних дорівнює m+n–1=7.
Методом потенціалів перевіряємо допустимий план на оптимальність.
-
αi
7
110
12
70 -
4
+
9 8
7 5
0
3 1
8
20 +
6
120 -
5
80
3
130
-4
4 6
9 13
7 8
6 7
4
20
-3
βj
7
12
10
9
7
-
αi
7
110 -
6 12
4
70 +
3 8
1 5
0
1
+
8
90
6
50 -
5
80
3
130
2
1 6
9 13
7 8
6 7
4
20
3
βj
7
6
4
3
1
-
αi
7
60 -
14 12
4
120
8
+
3 5
0
1
50 +
8
90
-2 6
5
80 -
3
130
-6
2 6
9 13
-1 8
6 7
4
20
-5
βj
7
14
4
11
9
-
αi
4 7
11 12
4
120
8
60 -
5
+
0
1
110
8
90
1 6
5
20 +
3
130 -
-3
2 6
9 13
2 8
6 7
4
20
-2
βj
4
11
4
8
6
-
αi
3 7
10 12
4
120
7 8
5
50
0
1
110
8
90
2 6
5
80
3
70
-2
2 6
9 13
3 8
6 7
4
20
-1
βj
3
10
4
7
5
План є оптимальним.
Відповідь:
