Запитання для самоконтролю
Яка функція називається первісною для заданої функції?
Що називається невизначеним інтегралом? Який його геометричний зміст?
Які властивості невизначеного інтеграла Ви знаєте?
Запишіть таблицю основних інтегралів та диференціалів.
Охарактеризуйте основні методи інтегрування: метод підведення під знак диференціала, метод заміни змінної, інтегрування частинами. Наведіть приклади.
Як інтегруються раціональні дроби, ірраціональні і тригонометричні вирази? Згадайте необхідні теореми і формули. Наведіть приклади.
Рекомендована література: [1], розділ 4, п.4.1; [8], розділ X; [5], ч.3, практичні заняття 1-9.
Приклад 4.1. Знайти невизначені інтеграли:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
є)
ж)
з)
;
ї)
й)
к)
л)
м)
н)
о)
п)
Розв’язання. Поділимо почленно чисельник підінтегрального дробу на його знаменник і, застосувавши властивості невизначеного інтеграла, будемо мати:
У прикладах б) – г) застосуємо метод підведення під знак диференціала.
Для знаходження інтегралів д) – ж) використаємо метод інтегру-вання частинами.
з)
Маємо інтеграл від виразу, що містить
квадратний тричлен.
Виділимо
в чисельнику підінтегральної функції
доданок, що рівний похідній знаменника.
Тоді
і)
Підінтегральна функція є правильним
раціональним дробом. Розкладемо знаменник
дробу на прості множники, а дріб на суму
найпростіших раціональних дробів.
Маємо:
Зведемо
праву частину останньої рівності до
спільного знаменника і, прирівнявши
чисельники дробів, отримаємо тотожність:
Невідомі коефіцієнти визначимо методом колокації (надамо змінній x значень, що відповідають дійсним кореням знаменника дробу, і підставимо їх в останню рівність):
Звідки
А=-1,
В=6,
С=-2.
Знайдені коефіцієнти підставимо в розклад підінтегральної функції на найпростіші дроби. Одержимо:
ї) Підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом. Представимо його у вигляді суми цілої частини (многочлена) і правильного раціонального дробу. Для цього виконаємо ділення чисельника дробу на знаменник:
Знаменник правильного раціонального дробу розкладемо на прості множники, а дріб на суму найпростіших раціональних дробів і складемо тотожність.
.
Коефіцієнти
і
шукаємо за методом невизначених
коефіцієнтів. Для цього прирівняємо
коефіцієнти при однакових степенях
лівої і правої частини тотожності:
Звідки А=0,
В=1,
С=-1,
D=-1.
Отже,
У прикладах й) – л) маємо інтеграли від ірраціональних функцій. Обчислимо їх за допомогою відповідних підстановок, які зведуть вихідний інтеграл до інтеграла від раціональної функції.
У
прикладах м) – п) маємо інтеграли від
виразів, що містять тригонометричні
функції.
м) Використаємо універсальну тригонометричну підстановку.
н)
Використаємо формулу зниження степеня.
Завдання для самоконтролю
Знайти невизначені інтеграли:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
;
10.
;
11.
;12.
;
13.
;
14.
;
15.
;
16.
.