(М 1) Лінійна алгебра.
Теоретичні завдання.
Рівень 1.
1. Поняття визначника n-го порядку.
2. Обчислення визначника 2-го порядку.
3. Обчислення визначника 3-го порядку.
4. Означення мінора та алгебраїчного доповнення до елемента визначника.
5. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця .
6. Означення або приклад системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
7. Теорема Крамера.
8. Означення матриці та її розміру (приклад).
9. Означення одиничної матриці.
10. Додавання матриць і множення числа на матрицю.
11. Означення оберненої матриці.
12. Формула для оберненої матриці.
Рівень 2.
13. Властивості визначника: про нульовий рядок, про винесення спільного множника.
14. Властивості визначника: про однакові та пропорційні рядки, про перестановку рядків.
15. Властивості визначника: про транспонування, про додавання рядків.
16. Властивості визначника: про рядок, в якому всі елементи є сумами двох чисел, про елементи одного рядка та алгебраїчні доповнення до іншого рядка.
17. Теорема про несумісну систему.
18. Скільки розв’язків може мати система лінійних алгебраїчних рівнянь?
19. Властивості додавання матриць та множення числа на матрицю.
20. Множення матриць.
21. Властивості множення матриць.
22. Матричний метод розв’язування систем.
Практичні завдання. Рівень1.
-
Обчислити визначник третього порядку.
-
Обчислити
для визначника із
завдання 1.
-
Розв’язати систему 2х2 методом Крамера і зробити перевірку.
-
Знайти матрицю 2А—В, якщо задані матриці А, В.
-
Перемножити задані матриці.
Рівень 2.
-
Обчислити визначник третього порядку а) накопичивши нулі і розклавши за теоремою Лапласа, б) зразу ж розклавши за теоремою Лапласа.
-
Розв’язати систему 3х3 або 2х3 за допомогою визначників.
-
Розв’язати систему 2х2 матричним методом і зробити перевірку.
Вектори і аналітична геометрія. Теоретичні питання. Рівень 1.
1. Означення вектора і його довжини.
2. Означення нульового вектора і одиничного.
3. Рівні і колінеарні вектори.
4. Додавання векторів.
5. Множення вектора на число.
6. Проекція вектора на вісь.
7. Означення декартових координат вектора.
8. Властивості декартових координат вектора.
9. Означення скалярного добутку двох векторів.
10. Скалярний добуток через координати.
11. Довжина вектора через координати.
12. Формула для косинуса кута між векторами і проекції вектора на вектор.
13. Загальне рівняння прямої на площині.
14. Рівняння прямої із кут. коефіцієнтом та геометричний зміст кут. коеф.
15. Рівняння кола і малюнок.
16. Рівняння еліпса і малюнок.
17. Рівняння гіперболи і малюнок.
18. Рівняння параболи і малюнок.
Рівень 2.
19. Компланарні вектори.
20. Властивості операцій додавання векторів і множення числа на вектор.
21. Базис сукупності векторів.
22. Теорема про базис площини. Теорема про базис простору.
23. Властивості координат векторів в одному базисі.
24. Властивості проекцій векторів на вісь.
25. Напрямні косинуси і орт вектора.
26. Лінійна залежність і лінійна незалежність. Основні теореми.
27. Властивості скалярного добутку векторів.
29. Скал. добуток і довжина n-вимірних векторів. Ф. Коші-Буняковського.
30. Відстань між двома точками в декартовій системі координат.
31. Поділ відрізка у заданому відношенні.
32. Паралельний перенос осей координат.
33. Рівняння лінії на площині.
34. Рівняння прямої через точку і нормальний вектор.
35. Рівняння прямої через точку і напрямний вектор.
36. Рівняння прямої через точку і кутовий коефіцієнт.
37. Рівняння прямої через дві точки.
38. Рівняння прямої у відрізках.
39. Відстань від точки до прямої.
40. Кут між прямими.
41. Загальне рівняння кривої другого порядку.
42. Канонічні рівняння кривих другого порядку із зміщеним центром.
-
Означення кола (еліпса, гіперболи, параболи).
Практичні завдання. Рівень 1.
1. Задані координати точок А , В і С. Знайти координати векторів а=АВ і b=АС, довжини цих векторів, скалярний добуток, косинус кута між векторами та проекцію вектора а на вектор b.
-
Скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
-
Виділити повний квадрат у квадратному тричлені.
-
Звести загальне рівняння кола до канонічного і намалювати це коло.
Рівень 2.
5.Виразити вектори-медіани в трикутнику через два вектори-сторони у трикутнику.
6. Знайти орт і напрямні косинуси вектора а, якщо задані його координати.
7.Виразити один з трьох векторів через два інші, якщо вектори задані своїми координатами.
8. Перевірити чи трикутник АВС прямокутний, тупокутний чи гострокутний якщо задані координати його вершин у просторі.
9. Написати рівняння медіани, бісектриси, висоти чи середньої лінії проведеної з вершини А у трикутнику АВС і знайти її довжину, якщо задані координати його вершин на площині.
10. Звести загальне рівняння кривої другого порядку до канонічного із зміщеним центром. Назвати і намалювати криву. Знайти координати її вершин, фокусів і ексцентриситет:
(М 2) Вступ в математичний аналіз.
-
Означеня функції.
-
Означення області визначення функції.
-
Означення взаємно однозначного відображення та оберненої функції.
-
Графіки основних елементарних функцій.
-
Означення і приклад складної функції.
-
Означення і приклад елементарної функції.
-
Означення зростаючої і строго зростаючої функцій на множині.
-
Означення спадної і строго спадної функцій на множині.
-
Означення монотонної функції на множині.
-
Означення обмеженої знизу функції на множині.
-
Означення обмеженої зверху функції на множині.
-
Означення обмеженої функції на множині.
-
Означення парної і непарної функцій.
-
Означення періодичної функції.
-
Означення послідовності.
-
Означення і приклад околу точки і проколотого околу.
-
Означення і приклад околу +
-
Означення і приклад околу -
-
Означення границі послідовності.
-
Означення неск. великої послідовності.
-
Означення нескінченно малої послідовності.
-
Означення збіжної послідовності.
-
Якою може бути границя послідовності?
-
Властивість про арифметичні дії над границями послідовностей.
-
Властивість про обернену до нескінченно малої послідовності.
-
Теорема Вейєрштрасса.
-
Означення границі функції в точці за Гейне.
-
Означення границі функції в точці за Коші.
-
Означення лівої і правої границь функції в точці.
-
Що можна сказати про односторонні границі в точці якщо існує границя в точці?
-
Якою може бути границя функції в точці або на нескінченності?
-
Означення нескінченно великої функції в точці або на нескінченності.
-
Означення нескінченно малої функції в точці або на нескінченності.
-
Властивість про арифметичні дії над границями функцій.
-
Властивість про обернену до нескінченно малої функції.
-
Властивість про добуток нескінченно малої і обмеженої функцій.
-
Властивість про перехід до границі в нерівностях.
-
Властивість про «два міліціонери».
-
Властивість про границю складної функції.
-
Перша цікава границя.
-
Наслідки з першої цікавої границі.
-
Друга цікава границя.
-
Наслідки з другої цікавої границі.
-
Означення неперервної функції в точці.
-
Теорема про неперервність елементарної функції.
-
Означення неперервної зліва і справа функції в точці.
-
Означення неперервної функції на відрізку.
-
Властивість про обмеженість неперервної на відрізку функції.
-
Властивість про найбільше і найменше значення неперервної на відрізку функції.
-
Властивість про проміжне значення неперервної на відрізку функції.
-
Означення усувного розриву.
-
Означення розриву-стрибку.
-
Означення розриву першого роду.
-
Означення розриву другого роду.
Диференціальне числення функції однієї змінної.
-
Означення похідної функції в точці.
-
Геометричний зміст похідної функції в точці.
-
Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції в точці.
-
Фізичний зміст похідної функції в точці.
-
Таблиця похідних.
-
Таблиця правил диференціювання.
-
Логарифмічне диференціювання.
-
Означення диференційованої функції і диференціалу в точці.
-
Зв'язок існування похідної з поняттям диференційованості.
-
Зв'язок диференційованості і неперервності.
-
Геометричний зміст диференціалу.
-
Формула для диференціалу функції через похідну.
-
Властивість інваріантності формули для диференціалу.
-
Правила для диференціалу.
-
Означення функції диференційованої на проміжку.
-
Параметрично задана функція і її похідна.
-
Похідна оберненої функції.
-
Похідна неявно заданої функції.
-
Означення похідних вищих порядків.
-
Терема Лагранжа про скінченні прирости.
-
Правило Лопіталя.
-
Формула Тейлора.
-
Дослідження на монотонність з допомогою похідної.
-
Означення точки максимуму функції на множині.
-
Означення точки мінімуму функції на множині.
-
Означення точки локального екстремуму функції.
-
Необхідна умова екстремуму.
-
Достатня умова екстремуму(перша).
-
Друга достатня умова екстремуму.
-
Означення опуклої вниз функції на інтервалі.
-
Означення опуклої вверх функції на інтервалі.
-
Означення точки перегину функції.
-
Дослідження на опуклість з допомогою похідної.
-
Знаходження точки перегину з допомогою похідної.
-
Означення асимптоти графіка функції.
-
Існування вертикальної асимптоти.
-
Існування горизонтальної асимптоти.
-
Існування похилої асимптоти.
-
Дослідження функції на найбільше і найменше значення на відрізку.
-
Розв’язування текстових задач на екстремуми.