**************************************************Тема 1
Покажемо, що СВФ можна представити у вигляді гармонічних коливань з випадковими амплітудами і випадковими фазами:
Розглянемо ВФ:
Перетворимо ВФ
ВФ (1) можна тлумачити як гармонічне коливання з амплітудою (3) та випадковою фазою
де частота.
Покажемо що ВФ (1) є стаціонарною
Враховуючи , що можемо зробити висновки , що математичне сподівання ВФ = 0,
Знайдемо кореляційну функцію
ВФ (1 ) є стаціонарною у великому розумінні.
Розглянемо ВФ яка є сумою скінченного числа доданків виду (1)
(4)
Попарно некорельовані
Доведемо що дана ВФ (4) є стаціонарною
математичне сподівання кожного із доданків ВФ (4)=0, тоді математичне сподівання суми =0
Оскільки
Якшо доданок суми (4) є попарно не корельовано то кореляційна функція цієї суми = сумі кореляційної функції доданків..Таким чином перевіримо що наші доданки є попарно некорельовані.
Для простоти не втрачаючи цілісності обмеження двома доданками
Отже доданки не корельовано. А кореляційна функція буде
Враховуючи що для кожного із доданків ВФ (4) справедливе представлення то можна записати
ВФ може бути представлена у вигляді суми гармонік різних частот та фаз.
Спектральним розкладом СВФ називається представлення цієї функції у вигляді суми гармонічних коливань ріщних частот з випадкими амплітудами і випадковими фазами
******************************************* Тема 2
(7)
Дисперсія СВФ, що представлена у вигляді скінченної кількості гармонік = сумі дисперсій гармонік,які її складають
Дискретним спектром СВФ називається сума дисперсій гармонік,які її складають. Спектр можна представити графічно.
Розглянемо випадок рівновіддалених част. Множина яких зліченна (нескінченна)
Спектральний розклад (8)
, де Т-дійсне додатнє число.
Кореляц.Ф-я стац вп (8):
де r=t2-t1 (9)
Враховуючи що отримаємо (10)
Дисп може бути предст у вигляді (8),визначається як сума дисперсій і їх гармонік
Відмітимо, що (9) можна розглядати кореляц ф-ю в ряд Фурє по косинусу.
(11)
Маючи (9)видно що кор. ф-я це період ф-ї з періодом rT і коефіцієнт Фурє визначається як (11) або (12): (12)
СПЕКТРАЛЬНІ ЩІЛЬНОСТІ СТАЦІОНАРН ВФ називається ф S(w) яка
з‘вязана з кореляц функцією взаємн обернено перетворю Фур’є
(13)
(14)
Ці ф-ї (13 і 14) називаються Віннера-Хінчена. У дійсній формі вони представляють собою взаємно оберкосинус перетвор ф-ї:
(15)
(16)
Враховуючи що та маємо: (17)
Частину інтервалу відповідає дисперсія (18)
Отже спектр щільність описує розп дисперсію стац ВФ за част,що неперервно замкнена. Вона є невід’ємною фінкцією
**************************************Тема 3
4)Нормована спектральна щільність:
S ( )=
У вигляді косинус-перетворення Фур’є:
S норм ( )=
Через нормовану спектральну щільність:
( )=
5) Нехай (t) i (t) стаціонарні і стац-звязані випадкові ф-ї,що мають взаємокореляційну ф-ю r ( )
Тоді взаємною спектральною щільністю 2-х стаціонарних ф-й (t) i (t) називають ф-ю:
S (
r ( )
6) Узагальнена ф-я –це границя послідовності одно параметричного сімейства неперервної ф-ї.
Дельта-ф-я визначається тією умовою, що вона ставить у відповідність будь-які неперервні ф-ї f(t) її значення при t=0.
,
E (t)=
Враховуючи,що E (t) E (t)
умовно пишуть
Дельта ф-ю можна представити інтегралом Фур’є:
Звідси:
7) Стаціонарний білий шум назив. Стац. Випадкову ф-ю (t) спектральна щільність якої є S ( )=S=const
Кореляційна ф-я білого шуму:
k (
k ( =2
де 2 - інтенсивність стац. білого шуму.Кореляційна ф-я білого шуму пропорційна дельта ф-ї
8)Стац. лінійною динамічною системою назив. С-му, яка описується лінійним диференціальним рівнянням зі сталими коефіцієнтами виду:
a 0 Y (n) (t)+ a 1 Y (n-1) (t)+…+ a n Y (t)= b 0 X (m) (t)+ b 2 X (m-1) (t)+…+ b n X (t)
де Х(t)-вхідна стац. вип. ф-я
Y(t)- вихідна стац. вип. ф-я
*******************************************Тема 4
Частотною характеристикою лінійної динамічної системи називають: (40)
(41)
(42)
(43)