- •Передмова
- •1.2. Вступ до математичного аналізу
- •Запитання для самоконтролю
- •Завдання для самоконтролю
- •1.3. Похідна та її застосування
- •Правила диференціювання
- •Запитання для самоконтролю
- •Завдання для самоконтролю
- •1.4. Невизначений інтеграл
- •Запитання для самоконтролю
- •Завдання для самоконтролю
- •1.5. Визначений інтеграл
- •Запитання для самоконтролю
- •Завдання для самоконтролю
- •1.6. Звичайні диференціальні рівняння
- •Запитання для самоконтролю
- •Завдання для самоконтролю
1.2. Вступ до математичного аналізу
Основні теореми про границі |
|
Якщо існують і , то мають місце теореми: |
Аналітичний запис |
Границя алгебраїчної суми двох (скінченної кількості) функцій дорівнює алгебраїчній сумі границь цих функцій. |
|
Границя добутку двох (скінченної кількості) функцій дорівнює добутку границь цих функцій. |
|
Границя частки двох (скінченної кількості) функцій дорівнює частці границь цих функцій за умови, що границя дільника не дорівнює нулеві |
|
Сталий множник можна виносити за знак границі. |
|
Границя цілого додатного степеня функції дорівнює тому ж степеню границі функції. |
|
Визначні границі та їх наслідки |
|
Назва |
Аналітичний запис |
1 |
2 |
Перша визначна границя |
|
1 |
2 |
Наслідки |
1. 2. 3. 4. 5. |
Друга визначна границя |
де е=2,718281… |
Наслідки |
1. 2. |
Неперервність функції в точці |
|
Назва поняття |
Означення |
х0 – точка неперервності функції f(x)
|
2. Існує |
1 |
2 |
|
3. Виконується рівність . |
х0 – точка розриву функції f(x) |
Не виконується одна з умов 1-3. |
Класифікація точок розриву функції |
|
Назва |
Означення |
х0 – точка розриву першого роду: а) усувний розрив
|
, але невизначена або |
б) неусувний розрив ( розрив типу „стрибка”) |
, але обидві границі скінченні |
х 0 – точка розриву другого роду |
Хоча б одна з границь , не існує або дорівнює нескінченності. |
Запитання для самоконтролю
Що називають функцією однієї змінної? Її областю визначення? Множиною значень?
Назвіть основні елементарні функції. Згадайте їх властивості і графіки.
Дайте означення границі послідовності, функції.
Сформулюйте основні властивості границь.
Запишіть і виведіть І-шу і ІІ-гу визначні границі.
Які границі називаються односторонніми?
7. Сформулюйте означення неперервної функції в точці і на інтервалі.
Що таке точки розриву функції? Як вони класифікуються?
Рекомендована література: [1], розділ 2;[8],розділ I,II; [5], ч.2, практичні заняття 1-20.
Приклад 2.1. Знайти область визначення функцій:
а) б)
Розв’язання. а) При знаходженні області визначення даної функції потрібно згадати, що корінь парного степеня може існувати лише для невід’ємних чисел, а знаменник дробу повинен бути відмінним від нуля. Ці умови повинні виконуватись одночасно. А тому шукана область визначення являє собою розв’язок системи:
Зобразимо її на рисунку.
Рис.3
Відповідь: .
б) З того, що логарифм існує для строго додатних чисел, а вираз, який міститься під знаком функції arcsin, за модулем не перевищує одиниці, маємо систему:
Зобразимо область визначення даної функції на рисунку.
Рис.4
Відповідь: .
Приклад 2.2. Знайти границі функцій:
а) б)
в) г) д)
Розв’язання. а) При маємо неозначеність виду Щоб її розкрити, поділимо почленно чисельник і знаменник дробу на х у найвищому степені (в нашому випадку на х2). Маємо
Зауважимо, що при величини та – нескінченно малі, а тому
б) Безпосередня підстановка граничного значення х=-2 дає неозначеність виду Щоб розкрити цю неозначеність, виділимо в чисельнику і знаменнику дробу множник х+2 і скоротимо на нього. (Множник х+2 обов’язково увійде в розклад на множники многочленів в чисельнику і знаменнику дробу, оскільки х=-2 – корінь обох многочленів. Зауважимо, що скорочення можливе, бо х+2≠0, хоча й (х+2)→0).
Для виділення множника х+2 в чисельнику і знаменнику дробу
виконаємо ділення квадратних тричленів на двочлен:
в) Безпосередня підстановка граничного значення х=6 дає неозначеність виду Щоб її розкрити, звільнимося від ірраціональності у знаменнику. Для цього домножимо чисельник і знаменник дробу на вираз, спряжений до знаменника, тобто, на
г) Для знаходження даної границі використаємо наслідок з першої визначної границі У нашому випадку
=
д) При маємо неозначеність виду . Щоб її розкрити скористаємося наслідком з другої визначної границі
Для цього поділимо чисельник і знаменник основи степеня на 2х. Маємо:
Приклад 2.3. Дослідити функцію на неперервність і побудувати її графік:
Розв’язання. Ф ункція визначена для всіх . Розрив можливий лише в точці х=2, при переході через яку функція змінює свій аналітичний вираз.
Знаходимо односторонні границі:
В точці х=2 функція має скінченний розрив (розрив першого роду).
“Стрибок” функції: