- •Теорія ймовірностей`
- •1. Скінченний та зліченний імовірносний простір. Геометричне визначення імовірності
- •1.2. Події та операції над подіями
- •1.3. Скінченний простір елементарних подій
- •1.4. Зліченна ймовірносна схема
- •1.5. Геометричне визначення ймовірності
- •2. Аксіоматика теорії ймовірностей
- •2.1. Поняття ймовірносного простору. Властивості ймовірності
- •2.2. Умовні ймовірності. Незалежність подій
- •2.3. Формула повної ймовірності і формула Байєса
- •3. Дискретні випадкові величини
- •3.1. Поняття дискретної випадкової величини
- •3.2. Закон розподілу дискретної випадкової величини
- •3.3. Математичне сподівання
- •3.4. Багатовимірні закони розподілу
- •3.5. Додаткові властивості математичного сподівання і дисперсії
- •3.6. Коваріація та коефіцієнт кореляції
- •3.7. Нерівність Чебишова і закон великих чисел
- •3.8. Генератриси цілочислових випадкових величин
- •3.9. Багатовимірні генератриси
- •3.10. Гіллясті процеси
- •3.11. Слабка збіжність випадкових величин
- •3.12. Граничні теореми в схемі Бернуллі
- •4. Випадкові величини загального типу
- •4.1. Визначення випадкової величини. Її функція розподілу
- •4.2. Розподіл ймовірностей випадкової величини. Вибірковий ймовірносний простір
- •4.3. Дискретні, абсолютно неперервні і сингулярні розподіли
- •4.4. Функції від випадкових величин
- •4.5. Багатовимірні розподіли
- •4.6. Незалежність випадкових величин
- •4.7. Математичне сподівання
- •4.8. Теорема Лебега. Формули для обчислення математичного сподівання
- •4.9. Закон великих чисел і метод Монте-Карло
- •4.11. Характеристична функція. Її основні властивості
- •4.12. Формули обернення для характеристичних функцій
- •4.13. Неперервна відповідність між функціями розподілу і характеристичними функціями
- •4.14. Закон великих чисел у формі Хінчина
- •4.15. Центральна гранична теорема
3.11. Слабка збіжність випадкових величин
Будемо говорити, що послідовність (послідовність законів розподілів) збігається слабко до розподілу , якщо для будь-якого k
.
Відзначимо, що догранична послідовність чисел задовольняє умовам
і .
Таким же умовам задовольняє і гранична послідовність.
Будемо говорити, що послідовність випадкових величин слабко збігається до випадкової величини і писати , якщо слабко збігаються відповідні їм закони розподілу.
Теорема 3.11. Нехай – послідовність ймовірносних генератрис, а – генератриса послідовності . Для того, щоб при кожному k необхідно і достатньо, щоб при усіх
.
3.12. Граничні теореми в схемі Бернуллі
Нехай – число успіхів у n незалежних випробуваннях Бернуллі з ймовірністю успіху p у кожному випробовуванні. Таким чином
.
Будемо вважати, що від n залежить не тільки число успіхів, але й p=pn – ймовірність успіху.
Теорема 3.12 (теорема Пуассона). Якщо при , то для довільного фіксованого
.
Теорема 3.13 (локальна теорема Муавра-Лапласа). Нехай в схемі n випробувань Бернуллі ймовірність успіху - стала величина. Тоді при і m таких, що ( – довільна стала)
,
де - деяка стала величина.
Теорема 3.14 (інтегральна теорема Муавра-Лапласа). Якщо ймовірність успіху у кожному випробуванні - стала, то при
при довільних .
4. Випадкові величини загального типу
4.1. Визначення випадкової величини. Її функція розподілу
Нехай – довільний ймовірносний простір. Числову функцію від елементарної події будемо називати випадковою величиною, якщо для довільного числа x
.
Функцію , визначену при усіх , будемо називати функцією розподілу випадкової величини .
Лема 4.1. Функція розподілу випадкової величини задовольняє властивостям:
а) для ;
b) .
Наслідок 4.1. Якщо функція розподілу випадкової величини , то
;
;
;
.
Характеристичні властивості функції розподілу містить наступна теорема.
Теорема 4.1. Функція розподілу має слідуючі властивості:
1) F(x) – неспадна;
2) F(x) – неперервна справа;
F(+ ∞)=1;
F(- ∞)=0.
Розглянемо приклад функції розподілу. Нехай – число успіхів в схемі випробувань Бернуллі з ймовірністю успіху . Тоді
, .
Функцію розподілу можна подати у вигляді
.
Тепер нехай – випадкова величина, яка має розподіл Пуассона з параметром ,
, .
Тоді представляє собою функцію розподілу .
4.2. Розподіл ймовірностей випадкової величини. Вибірковий ймовірносний простір
Далі через BR будемо позначати -алгебру борелівських множин R, тобто мінімальну -алгебру, яка містить множини виду , для будь-якого .
Лема 4.2. Нехай A0 – деякий клас підмножин R,
{A0} – мінімальна - алгебра, яка містить A0, а – дійсна функція, яка визначена на просторі елементарних подій . Якщо для будь-якого A0
, то для будь-якого {A0} .
Наслідок 4.2. Якщо – випадкова величина, то для кожної множини BR, і визначена ймовірність
.
Для доведення достатньо замість A0 узяти клас множин виду , для будь-якого .
Тепер можна дати ”симетричне” визначення випадкової величини. Випадкова величина – це довільне вимірне відображення вимірного простору у вимірний простір (R, BR).
Функція , визначена для усіх BR, називається розподілом ймовірностей випадкової величини .