TV1
.PDFF1 Теорія імовірності, перший семестр
Вступ
З потреб азартних ігор виникла теорія ймовірностей. Нехай А – деяка подія. Тоді визначимо поняття частоти.
Частотою, з якою подія А з’являлася в серії з n експериментів, назвемо число hn ( A) = nnA , - де nA – кількість разів появи події А
Властивості частоти
1.0 ≤ hn ( A) ≤ 1, тобто частота завжди лежить в певних межах.
2.Нехай Ω = {ω t} – всі можливі результати експерименту (зліченна, скінчена,
континуальна). Тоді hn (Ω ) = nnΩ = 1
3. А , В – несумісні події, тобто такі, що одночасно не з’являються, позначається
A ∩ B = 0 , тоді частота h ( A U B) = |
nAUB |
= |
nA + nB |
= h ( A) + |
h (B) |
|
|
||||
n |
n |
n |
n |
n |
|
|
|
|
Скінчена імовірнісна схема
Будемо розглядати стохастичний експеримент зі скінченою множиною подій, які будемо називати елементарними, нескладними подіями.
Приклад. Підкидаємо гральні кубики (6 граней). Тоді ω i = i,i = |
|
1,6 |
|
- елементарні, або |
|||||||||||||||||
нескладні події. Елементарні події об'єднаємо в множину Ω = |
{ω i = |
i,i = |
|
}- |
|||||||||||||||||
1,6 |
|||||||||||||||||||||
простір елементарних подій. Нехай А – подія, що полягає у випаданні парної |
|||||||||||||||||||||
кількості точок. Тоді A = {ω 2 ,ω |
4 ,ω 6} |
- є множиною сприятливих події. |
|
|
|||||||||||||||||
Приклад. Підкидаємо монету двічі. Тоді простір елементарних подій |
|
|
|||||||||||||||||||
Ω |
= { ЦЦ, ГЦ, ЦГ, ГГ} |
|
|
, а деяка окрема подія , наприклад така, що полягає у випаданні |
|||||||||||||||||
принаймні одного герба - B = |
{ ГЦ, ЦГ, ГГ} . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Обєднання усіх елементарних множин Ω - простір елементарних подій. |
|||||||||||||||||||||
Будь-яку підмножину |
|
|
A Ω |
називатимемо складною подією. |
|
|
|
||||||||||||||
Нехай Ω |
= {ω 1 ,ω 2 ,...,ω |
|
|
n} |
, тобто містить скінчену кількість елементів. Тоді візьмемо n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
чисел, |
p1 , p2 ,..., pn : pi |
|
≥ |
|
0,i = |
|
,∑ pi = 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1, n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
На множині подій визначимо функцію ймовірності Р(·), так, що |
A Ω |
P( A) = ∑ pij , - |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j= 1 |
де подія А складається з елементарних подій ω i1 ,...,ω ik . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
- неможлива подія. (подія, ймовірність появи якої нуль), тобто така, що P( ) = 0 . |
||||||||||||||||||||
Властивості ймовірності. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
P(Ω |
) = |
1 - ймовірність достовірної події рівна одиниці. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
A |
Ω |
: 0 ≤ |
|
P( A) ≤ |
1 - ймовірність завжди в певних межах. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
P( A U B) = |
|
P( A) + P(B) , A I B = |
- адитивність ймовірності для несумісних множин. |
|||||||||||||||||
4.ω 1 = |
Ω 1 : P(ω 1 ) = p1 |
- ймовірність елементарної події. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Нехай |
p |
= p |
2 |
= ... = p |
n |
= |
1 , тобто всі події є рівноможливими. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
F1 Теорія імовірності, перший семестр
Тоді P( A) = |
|
|
|
A |
|
|
|
− |
кількість |
елементів(потужність) |
А |
= |
N (A) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кількість |
елементів(потужність) |
|
|
|||
|
|
|
Ω |
|
|
− |
Ω |
N(Ω ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Злічена імовірнісна схема
Нехай Ω = {ω 1 ,ω 2 ,...} , тобто маємо зліченну множину елементарних подій. Знову розглянемо подію A - будь-яку підмножину Ω . Візьмемо набір чисел (послідовність) :
pi ≥ 0,∑ pi = 1
i
Визначимо на підмножинах множини Ω функцію P( ) : P( A) = ∑ pi , причому P( ) = 0 .
i:ω i A
Ця функція має ті ж властивості, що й раніше.
Приклад. Побудуємо експеримент. Ω = {n : n ≥ |
2}- злічена множина. Візьмемо p |
n |
= |
|
2 |
. |
||||
|
|
|||||||||
Тоді ймовірності відповідних множин : |
|
|
|
|
|
|
2n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A = {2,3,4,5} P( A) |
= 15 , B = {2,4,…,2n,…} |
P(B) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометричне визначення ймовірностей |
|
|
|
|
|
|
|
||
Нехай Ω - деяка обмежена підмножина n -вимірного простору. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подія – будь-яка вимірна у розумінні Лебега підмножина Ω . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Клас усіх таких підмножин ( тобто подій) – А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ймовірність події |
A А визначається як функція події, що прямо пропорційна її мірі. |
|||||||||
P( A) = c mes( A) , c = |
const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо константу c з умови P(Ω ) = 1. Маємо 1 = |
P(Ω ) = c mes(Ω ) c = |
1 |
|
|
|
. |
|
|||
mes(Ω |
|
) |
|
P( A) = mes(A) - геометричне визначення ймовірності події А. mes(Ω )
Приклад. Задача Бюффона.
Площина розділена паралельними прямими на відстані 2l . На цю площину навмання кидається голка, довжина якої l .Знайти ймовірність того, що голка перепне одну з прямих.
Нехай u – відстань від середини голки до найближчої прямої,ϕ - кут між голкою і прямою.
Тоді весь простір Ω = |
{(u,ϕ ) : 0 ≤ u ≤ l,0 ≤ ϕ |
≤ π} , а подія, що нас цікавить А : |
||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
A = |
(u,ϕ ) : u ≤ |
|
sinϕ |
,0 ≤ ϕ |
≤ |
π |
|
u |
||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
l |
sinϕ dϕ |
|
|
|
|
mes( A) |
|
2 |
|
1 |
|||
P( A) = |
= |
|
|
= |
||||
|
0 |
|
|
|
|
|||
mes(Ω ) |
|
|
π l |
π |
||||
|
|
|
|
|
- ймовірність події А.
π
2
l |
A |
|
2 |
||
|
π
Якщо n раз підкидати голку, n – кількість разів, які вона перетне пряму, то mn ≈ π1 .
2
F1 Теорія імовірності, перший семестр
Звідси можна отримати наближене значення константи π . Зокрема, при n = 5000
π = 3,1459
Аксіоматика теорії ймовірностей
1. Клас підмножин (подій) множини Ω |
- ζ |
= { A : A Ω } – алгебра, якщо : |
||||||||||
Ω |
ζ |
|
- містить простір елементарних подій. |
|||||||||
A |
ζ , B ζ A U B |
ζ - містить об’єднання двох довільних подій. |
||||||||||
A ζ |
|
|
|
ζ |
- містить доповнення до будь-якої події. |
|||||||
A |
||||||||||||
2. Клас підмножин( подій) ζ |
множини Ω |
|
- σ - алгебра, якщо |
|||||||||
Ω |
ζ |
|
- містить простір елементарних подій. |
|||||||||
{ A } |
+∞ |
|
ζ = |
∞ |
∞ |
|
|
|
||||
1 |
U A ζ (I A ζ ) |
- містить зліченне об’єднання довільних подій. |
||||||||||
n |
|
n= |
|
|
|
|
n |
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n= 1 |
n= 1 |
|
|
|
A ζ |
|
|
ζ |
- містить доповнення до будь-якої події. |
||||||||
A |
||||||||||||
3.Числова функція P( ) на σ |
- алгебрі ζ |
|
– ймовірність, якщо |
|||||||||
A |
ζ |
: P( A) ≥ |
0 - аксіома невід’ємності. |
|||||||||
P(Ω |
) = |
|
1- аксіома нормованості. |
|
|
|
||||||
{ An} |
∞n= 1 ζ , Ai |
|
|
∞ |
|
∞ |
||||||
I Aj ≠ |
,i ≠ j P(UAn ) = ∑P( An ) – злічена адитивність. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n= 1 |
n= 1 |
Аксіоми Колмогорова для визначення ймовірності – вимоги цих означень.
Властивості ймовірності.
1. |
A |
B P(B \ A) = P(B) − P( A) |
2. |
A |
B P(A) ≤ P(B) |
3. |
P( A U B) = P( A) + P(B) − P( A I B) |
4.P( A) = 1− P( A)
5.P( ) = 0
∞
6. Якщо An ↓ : A1 A2 ... An ... , IAn = , тоді lim P( An ) = 0, - властивість
n= 1
неперервності ймовірності.
Умовна ймовірність
Умовною частотою наз. частота події А, коли спостерігається подія В.
hn ( A/ B) = |
nAB / n |
= |
hn (AB) |
|
|
|
|
nB / n |
hn (B) |
P( A I B) |
|
||||
|
|
|
|||||
Умовною ймовірністю наз. P( A/ B) = |
, за умови, що P(B) ≠ 0 . |
||||||
P(B) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Приклад. Підкидаємо 2 гральні кості. Яка ймовірність того, що сума очок рівна 8, за умови, що на обох костях випали або парна, або непарна кількість очок.
Ω = |
{(i, j),i = |
1,6, |
j = |
1,6} | Ω |= 36 |
B = |
{(i, j),i, j − парні;i, j − непарні} |
|||
A = |
{(i, j),i + j = 8} |
P( A ∩ B) = 365
P(B) = 1836
3
F1 Теорія імовірності, перший семестр
P( A/ B) = 536 = 5 1836 18
На основі умовної імовірності ми можемо побудувати новий імовірнісний простір
(B,ζ , P(/ B)) , де ζ B = |
{A: A |
|
ζ , A |
B} . Перевіримо виконання аксіом. Дійсно |
|||||||||||||||||
1) P(/ B) ≥ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) P(Ω / B) = |
P(Ω I B) |
= |
P(B) |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P(B) |
P(B) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) P( UAn / B) = ∑P( An / B), Ai I Aj = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n= 1 |
|
n= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Бачимо, що аксіоми виконуються. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Запишемо деякі формули, які іноді формулюють як теореми. |
|
|
|
||||||||||||||||||
P( A ∩ B) = |
P( A/ B) P( B) |
– формула добутку (теорема добутку). |
|
|
|
||||||||||||||||
P( A/ B) = |
|
P( A ∩ B) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
P(B) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Цю формулу можна розповсюдити на випадок багатьох подій : |
|
|
|
||||||||||||||||||
P(A1 ∩ A2 ∩ ...An ) = P( |
A1) P |
|
|
A2 |
|
|
|
A3 |
|
|
|
|
An |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
A |
|
|
A ∩ |
A |
...P |
|
A ∩ |
A ... |
∩ |
A |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 I |
n− 1 |
|
Незалежні події
Події А та В називатимемо незалежними, якщо P( AB) = P( A) P( |
B) |
|||
Приклад |
A I B |
А : точка, яка потрапить у квадрат, буде мати абсцису, |
||
|
||||
|
|
|
||
1 |
|
|
що |
|
|
|
більша за a . |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
B : точка буде мати ординату, що більша b . |
||
|
|
|||
|
|
|
P( A ∩ B) = (1− a)( 1− b) = P( |
A) (P )B |
a1
Властивості незалежних подій.
1.Якщо P(B) > 0 , та A та B – незалежні, тоді P( A/ B) = P( A)
2.Властивість спадковості. Якщо А та В – незалежні, то незалежними будуть то A та B, A та B , A та B .
Події B1 ,..., Bn незалежні у сукупності, якщо для будь-яких індексів 1 ≤ i1 < ... < ir ≤ nr
ймовірність одночасного настання подій P(Bi1 ∩ ...∩ Bin ) = ∏r |
P(Bik ) |
k = 1 |
|
Приклад Бернштейна Експеримент: на площину кидається тетраедр (4 грані: червона, синя, зелена,
трикольорова).Події Ч, С, З – з’явилась грань, на якій присутній червоний, синій, зелений кольори.
4
F1 Теорія імовірності, перший семестр
P(Ч ) = 24 = 12 = P(C) = P(З)
Р(Ч IС) = 14 = Р(Ч I З) = Р(З IС) = Р(Ч )Р(С) = Р(Ч )Р(З) = Р(З)Р(С)
Р(Ч IС I З) = 14 ≠ Р(Ч )Р(З)Р(С) = 18
Тобто ми бачимо що події Ч, С, З – не є незалежними в сукупності, але будь-які дві з них є незалежними (тобто попарно вони є незалежними).
Формула повної ймовірності (ФПЙ)
Події H1 ,..., Hn утворюють повну групу подій, якщо: Hi ∩ H j = , i ≠ j (події попарно несумісні)
n
UH I = Ω (утворюють покриття простору елементарних подій).
I = 1
Hi - називаються гіпотезами.
Нехай деяка подія B U . Тоді можемо записати
P(B) = |
P( B ∩ Ω ) |
= |
|
n |
|
= |
n |
|
= |
n |
B ∩ H)i . Звідси отримуємо. |
||
P B ∩ |
UHi |
P U( B ∩ H)i |
|
∑P( |
|||||||||
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
i= 1 |
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(B) |
n |
|
|
|
|
Формула повної ймовірності. |
|
|
= ∑P( B ∩ Hi) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
Задача. Нехай маємо N екзаменаційних питань. Серед них n умовно щасливих. Знайти ймовірність того, що студент, який іде другим на іспит, витягне щасливий білет. ◄Нехай у нас буде такі дві гіпотези :
|
H1 |
– перший студент витягне щасливий білет |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
H2 |
– перший студент витягне не щасливий білет |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
B – |
студент, який іде другим на іспит, витягне щасливий білет |
|||||||||||||||||||
P(H1) |
= |
n |
|
; P(H2 ) = |
|
N − n |
- ймовірності гіпотез. Розглянемо подію B . |
||||||||||||||
N |
|
N |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n − 1 |
|
n |
|
n |
|
N − n |
|
n |
|
|||||
P(B) = P( B / H ) P( H) + P( B / H) (P H) |
2 |
. P(B) = |
|
+ |
|
= |
► |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
N − 1 N |
N − 1 N |
N |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Байеса |
|
|
|
|
|
|
Є повна група гіпотез H1,…,Hn . Знайдемо ймов окремої гіпотези, за умови, що сталася |
||||||||||
подія В : P(Hi / B) = |
P(Hi ∩ |
B) |
|
= |
|
P(B / Hi )P(Hi ) |
|
. |
|
|
P(B) |
|
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
∑ P(B / H j )P(H j |
) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
j= 1 |
|
|
|
|
|
P(Hi |
/ B) = |
|
|
P(B / Hi )P(Hi ) |
|
- формула Байеса |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∑ P(B / H j )P(H j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j= 1 |
|
|
|
Називають первісні (додослідні) імовірності гіпотез P(Hi ) – апріорні; післядослідні імовірності гіпотез P(B / Hi ) – апостеріорні.
5
F1 Теорія імовірності, перший семестр
Приклад
Нехай деякий прилад виробляється двома заводами, причому обсяг продукції другого в k разів більший. p1 і p2 - ймовірності того, що виріб виявився бракованим. Вироби пішли у
продаж. Яка ймов того, що ви купили прилад з другого заводу, якщо він виявився бракованим.
Гіпотези : H1 – бракований виріб першого заводу. H2 – другого.
P(H1) = |
|
|
1 |
|
|
|
; |
P(H2 ) |
= |
|
|
|
k |
|
|
. Нехай В – бракований виріб. Тоді |
|
|||||||||||||
1 |
+ |
k |
|
k |
+ |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
k p2 |
|
1 |
|
|
|
|||||||
P(H1 / B) = |
|
|
|
|
|
1+ k |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
p1 |
+ |
k p2 |
p2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 + |
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1+ |
k |
1+ |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Дискретні випадкові величини. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Розглянемо імовірнісний простір (Ω ,U , P) , Ω |
= |
{ω 1 ,...,ω n ,...} – дискретна множина, |
|
|||||||||||||||||||||||||||
U –σ - алгебра подій, |
|
pi |
– ймовірності елементарних подій. |
|
||||||||||||||||||||||||||
Випадковою величиною назватимемо вимірну відносно P як міри дійсну функцію ξ (ω |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||
на Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R {ω : ξ (ω ) |
< x} |
|
|
||||
Вимірність іншими словами : |
x |
U . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Нехай x1 < |
x2 < |
... – можливі значення в. в. ξ |
. Ai = {ω |
:ξ (ω ) = xi} .Оскільки xi – різні, то |
|
|||||||||||||||||||||||||
події Ai ∩ |
Aj |
= |
, i ≠ |
|
|
j ., тобто є несумісними. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
α = {A }+∞ |
|
- називається розбиттям, яке породжує випадкова величина в просторі |
|
|||||||||||||||||||||||||||
i i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
елементарних подій, якщо Ω = |
UAi |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
{ ГГ, ЦГ, ГЦ, ЦЦ} |
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Приклад. Ω |
= |
.ξ (u) |
= 1,2,3 |
- де u – число гербів, що з’явились. |
|
|||||||||||||||||||||||||
Розглянемо функцію |
χ A (ω |
|
) |
|
1,ω |
|
A |
. Тоді вихідну в.в. можемо подати, як |
|
|||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,ω |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||||
ξ (ω ) = ∑ xi χ Ai( ω ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Схема випробувань Бернуллі |
|
||||||||||||
Нехай маємо Ω |
|
= {ω :ω |
= |
|
(ω 1 ,...,ω n ), ω |
i = 0 1} .U - алгебра усіх можливих підмножин. |
||||||||||||||||||||||||
Визначимо два числа |
|
|
p0 |
≥ |
|
0 , p1 ≥ |
0 |
, |
p0 + p1 = |
1 , де p0 – ймовірність появи неуспіху, |
p1 |
– ймовірність появи успіху. Тобто ми робимо n незалежних випробувань, результатом
кожного з яких може бути або успіх “1”, або неуспіх “0”, з ймовірностями p1 |
та p0 |
||||
відповідно. |
|
p(ω ) = p( ω 1 ,..,ω n) = pω 1 pω 2 ...pω n . Нехай ξ (ω ) = |
|
||
|
|
|
|
n |
|
Оскільки ω i |
- незалежні то |
∑ω i . |
|||
ξ (ω |
) |
- може набувати значень від 1 до n .визначимо події : |
i= 1 |
||
|
|||||
Ai = |
{ω |
: ξ (ω |
) = i } = {ω : ω 1 + |
...+ ω n = i }. Тоді можемо записати виіхдну в.в., як |
6
|
|
F1 Теорія імовірності, перший семестр |
n |
|
|
ξ (ω ) = ∑iχ Ai( ω ) |
. Визначимо ймовіності P(ω ) |
= p1i p0n− i . Тоді очевидно, що |
i= 0 |
|
|
P(ξ (ω ) = i) = Cni p1i p0n− i . |
|
|
Позначивши p1 = |
p, p0 = q отримуємо P(ξ = i) = |
Cni pi qn− i . Цей розподіл називають |
біномінальним. Отже схема випробувань Бернуллі – це експеримент, що розглянуто вище,
де описувана в.в має бінімінальний розподіл.
Закон розподілу
Законом розподілу в.в. ξ називається ймовірність того, що вібулася подія ξ B , яка розглядається як числова функція множини B . Символічно P(ξ B) .
Закон розподілу визначається точками x1 < x2 < K< xn < K, та їх ймовірностями |
|||||||||||
pi = |
P(ξ = |
|
xi ) . i = |
1,... .(інколи в літературі цю таблицю називають розподілом) |
|||||||
x1 |
|
x2 |
|
|
x3 |
|
… |
|
|
|
|
p1 |
|
p2 |
|
|
p3 |
|
… |
|
|
|
|
Приклади. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Вироджений розподіл Ia |
|
|
|||||||||
|
Ia (B) |
= |
1,a |
B |
; |
F(x) = |
0, x ≤ |
a |
|||
|
|
|
|
a |
|||||||
|
|
|
|
|
0,a B |
|
|
1, x > |
2. Біноміальний розподіл Bpn . Також називається гіпергеометричним.
F(x) = Cnk pk(1− p) n− k k = 0, n
3. |
Геометричний розподіл Число неуспіхів до появи першого успіху в схемі Бернуллі. |
||||||||||
|
P{ξ = k} = |
(1− |
p) pk , p |
( 0,1) ,k = 0,1,... |
|
|
|||||
4. |
Розподіл Пуассона Pλ . Виникає як граничний до біноміального. |
||||||||||
|
P{ξ = m} = |
|
µ m |
e |
− µ |
, µ > |
0,m = |
0,1,... |
|
|
|
5. |
|
m! |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Гіпергеометричний Розподіл |
|
|
|
|
|||||||
|
Припустимо що в урні N – куль, серед них n білих та N − n - чорних |
||||||||||
|
Навмання з урни витягнуті k куль. Нехай ξ - кількість білих куль серед |
||||||||||
|
k витягнутих . Знайдемо розподіл величини ξ . Кількість взагалі можливих |
||||||||||
|
наборів по k куль рівна CNk |
; серед них мається Cnr CNk −− rn наборів які мають рівно |
|||||||||
|
r - білих куль. Тому |
P{ξ = |
r} = |
Cnr CNk −− |
rn |
(0 ≤ r ≤ min(n, k)) |
|||||
|
CNk |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поняття про вибірковий імовірнісний простір
Якщо ми розглядаємо випадкову величину без прив’язування до конкретного вигляду імовірнісного простору (нас він не цікавить), то під ним можна розуміти вибірковий
імовірнісний простір Ω ξ = {x1 , x2 ,...},U-σ - алгебра (U = β(Ω ξ )) Pξ ( A) = ∑ pi . В
i:xi A
такому просторі наша випадкова величина (в розумінні функції) буде виглядати як тотожне відображення ξ : Ω ξ → Ω ξ .
7
F1 Теорія імовірності, перший семестр Ця модель наз вибірковим ймовірносним простором.
Математичне Сподівання.
Дискретна випадкова величина (тут і далі в.в.) наз. сумованою (сумуємою, сумматорною), якщо
|
+∞ |
ряд (1) |
∑ξ (wk ) p( wk) – збігається абсолютно, де ξ (wk ) – значення в.в., |
p(wk ) |
k = 1 |
– ймовірність появи цього знчення. |
2. Значення ряду (1) наз. математичним сподіванням (тут і далі МС) в.в. Симоволічно
Mξ
Властивості МС: |
|
A |
,тоді M χ |
|
( w) = |
|
χ ( w) (p w) = |
(p )w |
||
1) Нехай |
|
w = |
|
|
||||||
|
χA( |
) |
1, w |
|
|
|
∑ |
|
∑ |
|
|
|
A |
|
A |
|
A |
||||
|
|
|
0, w |
|
|
|
w Ω |
|
w A |
2) |
M(ξ + η ) = Mξ + Mη |
– адитивність. |
|
|
|
|||||
◄ M(ξ + η ) = ∑(ξ (w) + η( w) ) p( w) = ∑ξ( w) p( w) + ∑(η )w (p )w = Mξ + Mη ► |
||||||||||
|
|
w Ω |
|
|
w Ω |
|
w Ω |
|
|
|
3) |
MCξ = CMξ |
◄ MCξ = ∑Cξ (w) p( |
w) = C ∑ξ( |
w) p( w) = CMξ |
► - дистрибутивність. |
|||||
|
|
|
|
w Ω |
|
|
|
w Ω |
|
|
4) |
MC = C |
|
◄С: p{ξ = C} = 1► |
|
|
|
|
|||
5) |
ξ ≥ η Mξ |
≥ Mη – монотонність |
|
|
|
|
||||
◄ M(ξ − η ) = ∑(ξ (w) − η( w) ) p( w) ≥ (т.я. ξ − η ≥ 0 , p(w) ≥ 0 ) ≥ 0 M(ξ − η ) ≥ 0 |
||||||||||
|
|
w Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mξ ≥ Mη ► |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) |
Нехай ξ |
≥ 0, M ξ = 0 , тоді P{ξ |
= |
0} |
= |
1 |
|
|
||
◄ 0 = Mξ = |
∑ξ (w) p( w) |
ξ( w) p( |
w) |
= |
0 |
Нехай ξ ≠ |
0 , тоді Ω = Ω |
ξ = 0 UΩ ξ ≠ 0 , w Ω ξ ≠ 0 , |
||
|
|
w Ω |
|
∑ p(w) |
|
|
|
|
|
|
p(w) = 0 Тоді P(Ω ξ ≠ 0 ) = |
= |
0 , звідки P{ξ = |
0} = 1 ► |
|
w Ω ξ ≠ 0
Вираз значення МС через розподіл випадкової величини.
Нехай маємо в.в. ξ (ω |
) . Розглянемо множини Ai = |
{w | ξ (w) = |
xi} |
. Тоді |
||
+∞ |
( w) , (i ≠ |
j)(Ai IA j = |
|
∞ |
|
|
ξ (w) = ∑ xi χ Ai |
). Зауважимо, що U A i = |
Ω |
. Запишемо |
|||
i= 1 |
|
|
|
i = 1 |
|
|
|
|
∞ |
∞ |
∞ |
|
|
Mξ = ∑ξ (w) p( w) = ∑ ∑ξ( w) p( w) |
= ∑ xi ∑(p )w = |
∑ xi{p ξ = }xi |
|
|||
w Ω |
i= 1 w Ai |
i= 1 w Ai |
i= 1 |
|
|
|
∞ |
|
|
xi} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mξ = |
∑ xi p{ξ |
= |
|
- Формула обчислення МС в.в по її розподілу |
|
|||||||||
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад: Нехай маємо в.в., що має розподіл Пуассона ξ ~ P(λ),λ > |
||||||||||||||
P{ξ = |
k} = |
λk e− |
λ |
, k = |
0,1,2,... |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
k |
e |
− |
λ |
∞ |
λ |
k − 1 |
∞ |
i |
|
|
Тоді Mξ = |
∑k |
λ |
|
= e− λ λ |
∑ |
|
|
= (позн. k − 1 = i )= e− λ λ ∑ λ |
|
= |
||||
k! |
(k − 1)! |
|
||||||||||||
|
|
k = 0 |
|
|
k = 1 |
i= 0 i! |
|
1. Mξ n – n -тий момент.
0 ,
e− λ λeλ = λ
8
F1 Теорія імовірності, перший семестр
2.Mξ n – абсолютний n -тий момент.
3.M(ξ − Mξ ) n – центральний момент ступеня n.
4.M ξ − Mξ n – абсолютний центральний момент ступеня n.
5.Дисперсія – (другий момент) Dξ = M(ξ − Mξ ) 2 .(інколи назив варіацією V(ξ ) )
Перший момент : M(ξ − Mξ ) = 0 – завжди.
σ = Dξ – середнє квадратичне відхилення.(використовується, бо має такі ж одиниці виміру, що і сама в.в., а не “в квадраті”, як дисперсія).
Властивості дисперсії: |
||||
1) |
Dξ = |
Mξ 2 − (Mξ ) 2 - вираз дисперсії через математичне сподівання. |
||
Dξ = M(ξ − Mξ ) 2 = M(ξ 2 − 2ξ Mξ + Mξ 2 ) = Mξ 2 − 2(Mξ ) 2 + ( Mξ) 2 = Mξ 2 − ( Mξ) 2 Q |
||||
2) |
Dξ ≥ 0 - невід’ємність. |
|||
3) |
P{ξ = |
C} |
= 1 |
DC = 0 - дисперсія константи рівна 0. |
4) |
D Cξ |
= |
C2 Dξ |
- константа виноситься з квадратом. |
5) |
D(ξ + |
C) = Dξ |
- зсув в.в. не змінює її дисперсію. |
Багатовимірні Закони Розподілу.
Нехай (Ω , U,P) |
|
ймовірнісний простір, ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n |
- в.в., ξ (w) = (ξ 1( w) ,ξ 2( |
w) ,...,ξ (n |
w) ) |
- |
|
||||||||||||||||||
випадковий вектор з компонентами, що є випадковими величинами. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n |
-вимірний закон розподілу для величин ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n – це ймовірність виду |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
P{ξ |
|
B} |
= P{(ξ(1 w) ,ξ(2 )w ,...,ξ(n )w ) |
B} , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
яка розглядається, як функція деякої підмножини n -вимірного евклідового простору |
|
|||||||||||||||||||||||
|
Позначення: P{ξ 1 = x1 j |
,ξ 2 = x2 j |
2 |
,...,ξ n |
= xn j |
} = |
Pj |
, j |
,..., j |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∑Pj1 , j2 ,..., jn |
n |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Очевидно, що Pj1 , j2 ,..., jn |
|
≥ |
0 , та |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Нехай: (x1 j |
|
|
|
|
|
) |
j1 , j2 ,..., jn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
, x2 j |
2 |
,..., xn j |
n |
- вектор значеннь в.в.ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По n -вимірному закону розподілу ВВ завжди можна знайти одновимірний. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
P{ξ i = |
xji } = |
|
|
|
∑Pj1, j2 ,..., jn - маргінальний розподіл. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
j1,.., ji− 1, ji+ 1,.., jn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Закон розподілу не визначає повністю усіх випадкових величин . Нехай |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ξ 1 X1 ,ξ 2 |
X2 ,...,ξ n |
Xn , тоді |
Ω = |
X1× X2 × ...× Xn |
, та U = {A | A Ω } , де |
|
|
|
|
||||||||||||||||
p(w) = |
Pj |
, j |
,..., j |
. Тоді (Ω |
|
ξ , Uξ , Pξ |
) |
- вибірковий простір для сукупності з n в.в. ξ i (wj |
) = xij |
, |
|||||||||||||||
ξ (w) : Ω |
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
||
ξ |
→ Ω |
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Незалежні випадкові величини |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В.в. ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n |
|
– незалежні, якщо для будь-якого набору їх значень (x1 j |
, x2 j |
,..., xn j |
n |
) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
виконується P{ξ 1 = x1 j1 |
,ξ 2 = x2 j2 |
,...,ξ n |
= xn jn} = |
∏n |
P{ξ i = xiji} |
|
|
|
|
|
|
i= 1
Властивості незалежних ВВ:
9
F1 Теорія імовірності, перший семестр
|
а) P{ξ 1 |
|
|
|
B1 ,ξ 2 |
|
B2 ,...,ξ n |
Bn} = |
∏n |
P{ ξ i |
|
|
B} i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (ξ ), g(η) |
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
б) ξ ,η |
– незалежні, тоді |
|
– незалежні, де |
f та g борелівські функції. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
◄ P{ f (ξ ) = u, g(η) = v} = P{ξ = f − (1 u) ,η = g −(1 )v} |
= P{ f (ξ ) = u} P{ g( η) = v} ► |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Додаткові Властивості МС: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Нехай: ξ ,η – незалежні дискретні ВВ, ξ ,η |
|
– сумовані, тоді їх добуток ξη теж сумовний, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
та Mξη |
= |
|
|
Mξ |
Mη |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
◄ Mξ Mη = ∑ xi P(Ai )∑ y j P(B j ) = ∑ xi y j P(Ai ) P(B j ) = ∑ xi y j P(Ai IB j ) = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j |
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ xi y j |
|
∑P(w) = ∑ ∑ξ( w) P( w) η( w) = ∑(ξ )w (P )w(η )w ► |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j |
w Ai IB j |
|
|
|
|
|
i, j w Ai IB j |
|
|
|
|
|
|
w Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Використовуючи метод мат. індукції можна отримати Mξ 1ξ 2 ...ξ n |
= |
Mξ ...Mξ n . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема Нехай ξ 1 ,...,ξ n |
– незалежні випадкові величини і Mξ i2 < |
∞ |
, тоді |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
D ∑ξ i |
|
|
= ∑D(ξ i ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n |
|
i |
|
|
|
|
n |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
i |
2 |
|
|
|
n |
|
i |
i |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
◄ D |
∑ |
ξ |
|
|
|
∑ |
ξ |
− M |
|
∑ |
ξ |
|
|
= |
M |
∑ |
(ξ |
) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= M |
|
|
|
|
|
|
|
|
− Mξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2∑( ξ i` − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
+ 2∑M( ξ i − Mξ i) (ξ j − Mξ j ) |
незал. |
|||||||||||||||||||||
|
= M |
∑(ξ i − Mξ i ) |
|
Mξ i) (ξ j − Mξ j ) |
= ∑M (ξ i − Mξ i ) |
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j> i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
j> i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑M (ξ i − Mξ i ) 2 = ∑Dξ i ► |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нерівність Чебишова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Теорема Нехай ξ |
- в.в., та Dξ |
|
- її дисперсія. Тоді має місце нерівність P{ |
|
ξ − Mξ |
|
≥ ε} ≤ |
Dξ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ε 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Цю нерівність називають нерівністю Чебишова. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
x |
|
|
≥ |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
◄ Введемо χ ε (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- характеристичну функцію множини | x |≥ ε . Тоді |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
x |
|
< |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P{ |
|
ξ − Mξ |
|
≥ ε} = Mχ ε (ξ − Mξ ) = |
1 |
Mε 2 χ ε (ξ − Mξ ) ≤ |
|
|
1 |
M (ξ − Mξ ) 2 |
χ |
ε ( ξ − Mξ) ≤ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
≤ |
1 |
M (ξ |
|
|
− Mξ ) 2 = |
|
D(ξ ) |
► |
|
|
|
ε 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ε 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ε 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10