2.4. Векторні простори сигналів

Якщо сигнал представлений вибіркою об’ємом N, всі відліки якої , n = 0, 1, …, N – 1 упорядковані в часі і рівномірно розподілені на інтервалі з кроком дискретизації T (рис. 2.6), то вибірка може розглядатись як N-вимірний вектор , а відліки вибірки як проекції вектора на базову ортонормовану систему векторів .

x(n)

x(2)

x(1)

x(n + 1)

x(0)

x(N – 1)

n + 1

2

N – 1

0

n

t_N – 1

t

t_n + 1

t_n

t₂

t₁

t₀

e_N – 1

e_n + 1

e_n

e₂

e₁

e₀

n

n + 1

2

N – 1

0

n

1

Рис. 2.6.

Умову ортонормованості можна записати з допомогою скалярного попарного добутку

(2.1)

або більш компактно:

, (2.2)

де – символ Кронекера:

(2.3)

Кожній вибірці об’ємом N відповідає N-вимірний вектор

. (2.4)

Отже, N-вимірні вибірки довільних сигналів утворять N-вимірний векторний простір. Так як модуль вектора називають нормою вектора, то можна говорити про норму відповідної вибірки:

. (2.5)

Якщо розглянути дві узгоджені в часі N-вимірні вибірки та (рис. 2.7), то можна говорити про відстань між вибірками як векторами.

Рис. 2.7. 

Відстань між векторами називається метрикою і визначається формулою

. (2.6)

Скалярний добуток двох вибірок як векторів дорівнює з одного боку

, (2.7)

з іншого боку

. (2.8)

Тому, кут між двома вибірками та дорівнює

. (2.9)

2.5. Функціональний простір сигналів

Вибірка лише в N точках повторює функцію . При зростанні N за рахунок зменшення кроку дискретизації T вибірка все ближче наближається до базового аналогового сигналу заданого на інтервалі , а відповідно точка N-вимірного векторного простору при займає деяке граничне положення. Тому, ми можемо говорити про функціональний простір сигналів. При вибірка переходить у функцію, що задана на відрізку , а сума переходить в інтеграл:

, .

Тоді норма сигналу згідно (2.5) дорівнює

. (2.10)

Метрика як відстань між сигналами і згідно (2.6) дорівнює:

. (2.11)

Скалярний добуток двох функцій згідно (2.7) визначається так:

. (2.12)

Кут між двома сигналами дорівнює:

. (2.13)

2.6. Енергетичні характеристики сигналів

Відомі із фізики поняття потужності, енергії та середньої потужності електричного сигналу узагальнюють на аналогові сигнали довільної фізичної природи. Ці характеристики визначаються шляхом виконання певних математичних дій над функцією , яка є математичною моделлю сигналу:

1. Миттєва потужність сигналу :

. (2.14)

2. Енергія Е сигналу за час його дії на інтервалі :

а) якщо дійсна функція,

; (2.15)

б) якщо комплексна функція,

, (2.16)

де – комплексно-спряжена функція до функції .

3. Середня потужність дійсного сигналу :

а) якщо скінчений сигнал (імпульс),

; (2.17)

б) якщо нескінчений періодичний сигнал з періодом ,

; (2.18)

в) якщо нескінчений неперіодичний сигнал,

. (2.19)

4. Середньо-квадратичне (діюче) значення сигналу

. (2.20)

5. Взаємна енергія двох сигналів та на інтервалі :

а) якщо сигнали дійсні,

; (2.21)

б) якщо сигнали комплексні,

. (2.22)

6. Взаємна потужність двох сигналів та на інтервалі часу :

, . (2.23)