Практикум 1 Комплексні числа та дії над ними

1.1. Теоретичні та довідкові дані

Комплексні числа в силу своїх властивостей складають особливий клас математичних об’єктів. Поява комплексного числа пов’язана з введенням уявної одиниці і, яка задовольняє співвідношення

(1.1)

Тобто, уявна одиниця і – таке спеціальне число, яке, будучи піднесене до квадрату, дорівнює мінус одиниці. Жодне дійсне число не задовольняє співвідношення (1.1).

За допомогою уявної одиниці і та пари дійсних чисел а, b комплексне число z можна подати у вигляді виразу

z = а + bі. (1.2)

Цей вираз є, по суті, відображенням z  (а, b), яке переносить комплексне число z з комплексного одновимірного простору в дійсний евклідовий двовимірний простір. Кожному комплексному числу z ставиться у відповідність лише одна пара дійсних чисел (а, b) та навпаки: z  (а, b). Аксіоматично вводять певні дії над комплексними числами, які визначають їх властивості. Тому, комплексне число визначається як пара упорядкованих чисел (а, b) з певними властивостями. Комплексні числа утворюють поле комплексних чисел, яке є розширенням поля дійсних чисел. При b = 0 комплексне число стає дійсним, при a = 0 стає суто уявним.

Хоча комплексне число подається у вигляді ускладненої конструкції (1.2), воно дозволяє простіше встановлювати певні зв’язки між дійсними об’єктами. Вивчення функцій у комплексній області дозволяє одержати досконаліші результати. Тому, комплексні числа та функції комплексної змінної знайшли широке застосування в різних галузях науки та техніки, в тому числі в цифровій обробці сигналів.

1.2. Алгебраїчна форма комплексного числа

Алгебраїчною, або декартовою формою запису комплексного числа, називають вираз

z = x + yі, (1.3)

де x та y – дійсні числа;

і – уявна одиниця: , або ;

x – дійсна частина комплексного числа z (ре z):

x = Re z; (1.4)

y – уявна частина комплексного числа z (ім z):

y = Im z. (1.5)

Якщо у = 0, то z = x, тобто число z є суто дійсним числом. z = 0 тоді і тільки тоді, коли х = 0 та у = 0.

Модулем або абсолютною величиною числа z називають число

. (1.6)

Умова рівності двох комплексних чисел та записується так:

(1.7)

Поняття більшого чи меншого комплексного числа не існує. При порівнянні двох комплексних чисел і можна говорити лише про те, яке з цих чисел має більшу дійсну чи уявну частину, або модуль числа.

Поняття суми і добутку двох комплексних чисел і означені так:

, (1.8)

. (1.9)

Дії, обернені відносно додавання і множення, називають відповідно відніманням і діленням чисел:

, (1.10)

(1.11)

• Алгебраїчна форма дозволяє виконувати дії додавання та множення комплексних чисел за звичайними правилами алгебри многочленів.

• Алгебраїчна форма комплексного числа особливо зручна для здійснення дії додавання.