2 Описание установки и вывод расчетной формулы

Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер, мерная линейка.

а б в

Рисунок 1 Положения пружинного маятника: а – без грузика; б – с грузиком в отсутствии колебаний; в – при смещении x грузика от положения равновесия в процессе колебаний

Зависимость периода колебаний T от параметров пружинного маятника: .

Отсюда жесткость пружины выразится как:

. (4)

В реальных колебательных системах всегда часть энергии расходуется на работу по преодолению сил трения (например, силы сопротивления воздуха, сил внутреннего трения и т.д.). При этом амплитуда колебаний A уменьшается со временем до нуля. Такие колебания называются затухающими.

При рассмотрении колебания в среде (в том числе и в воздухе), обладающей вязкостью, необходимо учесть силу сопротивления среды, значение которой прямо пропорционально скорости:

, (5)

где r называется коэффициентом сопротивления среды;

– скорость колеблющегося тела.

В этом случае второй закон Ньютона принимает вид:

. (6)

Перепишем (6), обозначив r / m = 2 и k / m = ₀²:

, (7)

где  называется коэффициентом затухания.

Формула (7) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний. При его решении можно рассмотреть 2 случая.

1) Случай малых затуханий  << ₀.

Потери энергии в системе малы. Решение имеет вид

x = A₀exp (–  t)  cos(t + ), (8)

где . Тогда период колебаний

(9)

увеличивается по сравнению с периодом незатухающих колебаний. Из выражения (8) следует, что амплитуда колебаний определяется следующим образом:

A(t) = A₀exp (–  t), (10)

т.е. со временем она убывает. Величина  = 1 /  называется временем релаксации – это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e  2,72 раз.

Изменение амплитуды колебаний во времени при не очень больших затуханиях показано на рисунке 2а, где пунктирные линии изображают функцию (10).

а б

Рисунок 2 Зависимость смещения от времени: а – случай

малых затуханий  << ₀ ; б – апериодический режим  > ₀

Из закона убывания амплитуд (10) следует, что отношение любых двух амплитуд, отстоящих друг от друга на один период, есть величина постоянная: A(t)/A(t+T) = const = .

Величину  называют декрементом затухания. Часто пользуются также понятием логарифмический декремент затухания  = ln , который, как можно показать подстановкой  в (10) равен   T. Отсюда  = /T.

2) Случай  > ₀.

Потери энергии в системе велики. В этом случае в уравнении (7) третий член перестает играть существенную роль, и решение описывает апериодический режим движения (рисунок 2б).

Сопротивление среды, при котором колебания прекращаются, называется критическим. Оно находится из условия , или  = ₀: .