1.3. Дослідження функцій багатьох змінних

1.3.1. Поняття екстремуму функції багатьох змінних

Для зручності обмежимо розгляд ФБЗ на прикладі функцій двох змінних. Нехай

Маємо функцію де D – область визначення даної функції. Виберемо - деяку внутрішню точку області D.

ОЗНАЧЕННЯ. Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує окіл точки такий що для всіх точок цього околу виконується нерівність

.

(Для більшої кількості змінних означення формулюється аналогічно тільки з’являються нові змінні ).

ОЗНАЧЕННЯ. Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує окіл точки , для всіх точок якого виконується нерівність

.

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму.

Графічна інтерпретація точок екстремуму

Точка А — точка максимуму. Точка В — точка мінімуму

Рис. 1.3.1 Рис. 1.3.2

Можливий ще й такий варіант екстремальної точки: так звана сідлова точка (рис. 1.3.3).

Точка С — сідлова точка

Рис. 1.3.3

1.3.2. Необхідні умови існування екстремуму

Сформулюємо спочатку необхідні умови існування точок екстремуму для функцій двох змінних.

Теорема 1.19*. (про необхідні умови існування екстремум уму функції двох змінних ) Якщо точка є точкою екстремуму функції , то її частинні похідні в цій точці дорівнюють нулю, або не існують.

Доведення. Введемо в розгляд функцію однієї змінної припустивши, що змінна є сталою і дорівнює , тобто маємо ФОЗ , яка визначена за умовою в деякому околі точки дійсної осі. Таким чином для отриманої функції однієї змінної справедлива теорема про необхідні умови існування екстремуму, тобто оскільки точка за умовою є точкою екстремуму, то і відповідна її координата також точка екстремуму функції . Тоді, оскільки

,

або ж якщо не існує , то не існуватиме й . Аналогічно припустивши, що змінна є сталою і дорівнює , отримаємо ФОЗ для якої справедливо

або ж якщо не існує , то не існуватиме й . Теорему доведено.

На практиці перевірка необхідних умов існування екстремуму зводяться до перевірки істинності системи

Для випадку функції - змінних справедлива наступна теорема.

Теорема 1.20. Для точки екстремуму функ­ції частинні похідні або дорівнюють нулю, або не існують.

Доведення. Розглянемо функцію однієї змінної, визначеної умовами теореми в деякому околі точки дійсної осі. У точці функція має екстремум. Тоді, оскільки - точка екстремуму ФОЗ справедливо

,

або ж не існує, тоді і теж не існує (за теоремою для функції однієї змінної). Аналогічно доводимо випадки . Що й треба було довести.

На практиці перевірка необхідних умов існування екстремуму зводяться до перевірки істинності системи

ОЗНАЧЕННЯ. Точки, в яких функція визначена, а її частинні похідні дорівнюють нулю або не існують, називають критичними (стаціонарними) точками цієї функції. На практиці їх знаходять розв’язуючи систему

відносно змінних .

Д ля функції усі точки осі х є критичними, бо в кожній такій точці функція визначена, , а не існує. Точки екстремуму функції слід шукати лише серед її критичних точок.

Якщо для функції у точці екстремуму існують частинні похідні за всіма змінними, то всі вони дорівнюють у цій точці нулю:

(1)

_{Умови (1) не є достатніми умовами існування екстремуму.}

Д ля функції умови (1) виконуються в початку координат, але ця точка не є екстремальною для розглядуваної функції.

ЗАУВАЖЕННЯ!!! Точки екстремуму диференційовної функції слід шукати лише серед її стаціонарних точок.