Диференційовність функції двох змінних
11. Частинні та повні прирости функції двох змінних
Нехай функція визначена в деякому околі точки . Тоді надамо незалежним змінним х та у приростів х і у так, щоб точка не виходила за межі зазначеного околу і точки , також потраплять у цей окіл (рис. 1.19).
Рис.
1.19
ОЗНАЧЕННЯ. Повним приростом функції f по х та у при переході від точки до точки називають різницю
яку позначають .
Аналогічно позначимо частинним приростом по х функції називатимемо різницю
Частинним приростом по у цієї функції називаємо
Таким чином
З ауваження. Аналогічно визначаються прирости функції більш ніж двох змінних, наприклад для
.
З найти прирости функції в точці , якщо
Використовуючи формули отримаємо
З найти прирости функцій
в точці , якщо
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
12. Частинні похідні функції двох змінних
Нехай функція задана в деякому околі точки .
Рис. 1.20
ОЗНАЧЕННЯ. Частинними похідними функції z = f(x, y) у точці відповідно за змінними х і у називають скінченні границі
;
,
звісно, якщо вони існують. Їх позначають: , або , або (Символ «» — читають «де» вперше застосував відомий математик Якобі.)
На практиці зручно використовувати наступні формули
;
.
Зауваження. Якщо в задачі не задають конкретну точку то у вищезазначених формулах потрібно замінити цю точку на довільну . Таким чином справедливі формули
;
.
О бчислити частинні похідні, використовуючи означення, від функції
Спочатку обчислимо частинні прирости
Тоді
О бчислити частинні похідні, використовуючи означення, від функцій
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
13. Повний диференціал функції двох змінних
ОЗНАЧЕННЯ. Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді:
де А, В — деякі числа, які не залежать від приростів ; , — нескінченно малі при , ,тобто
.
Головна лінійна частина приросту функції, тобто
,
називається повним диференціалом функції (або першим диференціалом) у точці і позначається або Таким чином,
(1)
Диференціалом незалежної змінної x або y називають її приріст, тобто за означенням беруть
,
Зазначимо, що знак рівності є умовним, величини не однакові, вони відрізняються на нескінченно малу величину. Тому враховуючи більш точне співвідношення
отримаємо формулу наближеного обчислення значень функцій
або,що те саме
Н аближено обчислити не використовуючи калькулятор
Спочатку запишемо функцію, яка максимально відповідає даному виразу
.
Тепер виберемо точку з якої легко обчислюється корінь а значення змінних мало відрізняється від початкових. Нехай
Враховуючи, що
Знайдемо частинні похідні Враховуючи, що отримаємо
Н аближено обчислити не використовуючи калькулятор
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Н аближено обчислити не використовуючи калькулятор
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ОЗНАЧЕННЯ. Якщо функція f диференційовна в кожній точці множини , то її називають диференційовною на множині D.
Отже, у кожній точці, де виконується рівність (1), повний диференціал функції обчислюється за формулою
(2)
Теорема 1.15. Якщо функція диференційовна в точці і , то в точці існують частинні похідні
,
Доведення. За означенням диференційовної функції маємо:
(3)
Поклавши у (3) , дістанемо :
.
Звідси
.
Якщо частинні похідні функції f існують у кожній точці множини , то говорять, що функція f має частинні похідні на множині D.
Аналогічно визначають і позначають частинні похідні трьох і більше змінних.
14. Частинні похідні та повний диференціал функції n-змінних
Означення. Якщо існує скінченна границя
то її називають частинною похідною функції f у точці за змінною і позначають
або .
Похідні , називають похідними першого порядку.