- •Введение
- •1. Математический аппарат гидродинамики. Краткие сведения из тензорного исчисления
- •1.2. Векторы и тензоры. Базисные элементы декартовой прямоугольной системы координат
- •1.3. Примеры тензоров второго ранга. Тензор напряжений
- •1.4. Элементы тензорной алгебры. Простейшие операции над тензорами.
- •1.5 Инварианты тензоров и тензорные поверхности.
- •1.6 Поля физических величин. Элементы тензорного анализа.
- •2. Уравнения неразрывности, движения, энергии
- •2.1. Градиент скорости и связанные с ним кинематические тензоры
- •2.2. Операции с тензорами градиента скорости, скоростей деформации и тензора вращения, и их инварианты
- •2.2 Дифференциальные операторы для поля скоростей
- •2.3. Уравнение неразрывности
- •2.4 Уравнения движения жидкости с постоянными и переменными физическими свойствами.
- •2.5. Уравнение баланса механической энергии потока.
- •2.6. Уравнение энергии движущейся жидкости и его различные формы записи.
- •2.7. Запись уравнения энергии как скалярной величины теплоты (возможная альтернатива закону Фурье).
- •2.8. Материальные производные в уравнениях переноса и их дивергентный вид.
- •2.9. Формула и.С. Громеки и другие связанные с ней соотношения.
- •2.10. Вихрь скорости и его ассоциированный тензор
- •2.11. О вязкостях и
2.3. Уравнение неразрывности
Уравнение неразрывности, являющееся скалярным уравнением:
может быть записано еще в двух эквивалентной этой формах:
Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности примет вид:
В случае турбулентного движения это будет:
здесь трактуется уже как осредненная скорость, - пульсационная. Отсюда и для осредненной скорости, и для пульсационной имеем:
т.е. в компонентном виде:
Рассмотрим дивергенцию тензора пульсаций третьего ранга, т.е. величину:
которая является тензором второго ранга. Простейшие преобразования дают:
Первое слагаемое, согласно формуле, равно нулю, а два других дают:
где - тензор пульсационных скоростей деформаций:
Выполняя операцию осреднение по Рейнольдсу, получаем для несжимаемой жидкости соотношение:
Применим к уравнению неразрывности, которое записано для общего случая движения жидкости любого вида, оператор градиента:
После несложных преобразований можно получить векторное уравнение:
или, в более компактном виде:
или, несколько иначе:
(7)
Выражение (7) содержит градиент дивергенции вектора , который, как известно равен:
Для несжимаемой жидкости левая часть равна нулю, откуда для ротора ротора вектора скорости:
Для сжимаемой жидкости согласно формуле (7) в правой части этого соотношения появляются слагаемые:
Тензорная форма уравнения неразрывности:
(1)
Отсюда возникает тензор
Его можно представить:
Отсюда возникают корреляции и
Поскольку уравнение неразрывности (1) можно т.е.
А можно записать для пульсационного движения:
Любую конвективную производную скалярной величины можно записать в виде:
2.4 Уравнения движения жидкости с постоянными и переменными физическими свойствами.
Уравнение движения жидкости в напряжениях содержит дивергенцию тензора напряжений Для несжимаемой жидкости тензор имеет вид:
Его дивергенция при учитывая что записывается как:
Тогда уравнение движения несжимаемой жидкости – уравнение Навье-Стокса при принимает вид:
Добавочное слагаемое характеризует изменение динамической вязкости. В компонентной форме, в декартовой прямоугольной системе координат уравнение имеет вид:
Для сжимаемой жидкости с переменной вязкостью уравнение будет содержать слагаемые с который в этом случае не будет равен нулю.
Реологическое соотношение при учете сжимаемости имеет вид:
или, обозначая скалярную величину при единичном тензоре:
это соотношение можно записать в виде:
Дивергенция этого тензора:
и уравнение движения сжимаемой жидкости с переменной вязкостью принимает вид:
или, в компонентном виде:
Учет переменности вязкости особенно важен при описании турбулентных течений с использованием модели Буссинеска с турбулентной вязкостью .
Применим операцию дивергенции к уравнению Навье-Стокса для сжимаемой жидкости с переменной вязкости, уравнение движения которой:
Будем последовательно применять операцию к каждому слагаемому этой формы:
Если массовая сила характеризует поле сил тяжести, то она имеет потенциал
Тогда:
Поскольку потенциальная функция линейна, то её лапласиан равен нулю, в результате чего:
В итоге результат применения операции дивергенции дает скалярное уравнение:
Если жидкость несжимаема, то это соотношение дает:
а если к тому же то
что и следовало ожидать.
Общий случай движения жидкости. Учет сжимаемой жидкости.
Для течений несжимаемой жидкости система уравнений состоит из уравнений Навье-Стокса и неразрывности (векторного и скалярного):
(1)
Эта система из двух уравнений является замкнутой – содержит две неизвестных – вектор скорости и скалярную величину - давление. Система описывает ламинарные течения, в случае турбулентного она становится незамкнутой – появляется тензор рейнольдсовых напряжений, который требует своего определения.
Для течения сжимаемых сред и уравнение Навье-Стокса после подстановки реологического соотношения для стоксовой ньютоновской жидкости в уравнения движения сплошной среды в напряжениях принимает вид:
(2)
где
(3)
Уравнения неразрывности для этого общего случая движения записывается как:
(4)
или, в несколько других эквивалентных формах:
или
Видно, что при эти уравнения (2) и (4) приводят к системе (1).
При система уравнений (2) и (4) является незамкнутой – в ней дополнительно, по сравнению с системой уравнений (1) появляется еще одна неизвестная скалярная величина – плотность жидкости. Для замыкания системы используют уравнение энергии, в котором еще одну появляющуюся скалярную величину - выражают через термодинамическое уравнение состояния, к качестве которого обычно в газовой динамике выступает уравнение Менделеева-Клапейрона. Уравнение энергии можно записать в виде уравнения переноса для внутренней энергии :
(6)
где внутренняя энергия для идеального газа , она выражается через его изохорную теплоемкость, величина - интенсивность теплового потока, для ламинарного режима отвергает по закону теплопроводности Фурье где - коэффициент теплопроводности; - теплота, поступающая от внешних или внутренних источников.
Уравнения (2), (3), (4) справедливы для ламинарного режима движения. В случае турбулентного режима в них появляются корреляции, вызванные не только пульсациями скорости, но и пульсациями плотности и температуры.