- •Введение
- •1. Математический аппарат гидродинамики. Краткие сведения из тензорного исчисления
- •1.2. Векторы и тензоры. Базисные элементы декартовой прямоугольной системы координат
- •1.3. Примеры тензоров второго ранга. Тензор напряжений
- •1.4. Элементы тензорной алгебры. Простейшие операции над тензорами.
- •1.5 Инварианты тензоров и тензорные поверхности.
- •1.6 Поля физических величин. Элементы тензорного анализа.
- •2. Уравнения неразрывности, движения, энергии
- •2.1. Градиент скорости и связанные с ним кинематические тензоры
- •2.2. Операции с тензорами градиента скорости, скоростей деформации и тензора вращения, и их инварианты
- •2.2 Дифференциальные операторы для поля скоростей
- •2.3. Уравнение неразрывности
- •2.4 Уравнения движения жидкости с постоянными и переменными физическими свойствами.
- •2.5. Уравнение баланса механической энергии потока.
- •2.6. Уравнение энергии движущейся жидкости и его различные формы записи.
- •2.7. Запись уравнения энергии как скалярной величины теплоты (возможная альтернатива закону Фурье).
- •2.8. Материальные производные в уравнениях переноса и их дивергентный вид.
- •2.9. Формула и.С. Громеки и другие связанные с ней соотношения.
- •2.10. Вихрь скорости и его ассоциированный тензор
- •2.11. О вязкостях и
2.9. Формула и.С. Громеки и другие связанные с ней соотношения.
Еще одно доказательство формулы Громеко. Поскольку , то умножение этого тензора на вектор скорости справа дает:
(1)
т.е. получили вектор конвективного ускорения жидкой частицы. Далее выполним следующую цепочку преобразований:
(2)
Второе слагаемое можно здесь представить в виде градиента:
(3)
Первое слагаемое в правой части (2) можно записать так:
(4)
Докажем это равенство. Левая часть его:
(5)
Правая часть равенства (4) также есть вектор:
(6)
Покажем, что выражения (5) и (6) эквивалентны. Для этого сравним компоненты этих векторов. В проекции на ось выражение (5) дает (полагаем ):
выражение (6) в проекции на эту же ось (полагаем ) дает:
Видно, что проекции на ось выражений (5) и (6) совпадают. Аналогичное совпадение имеет место и в отношении проекций на оси и .
Таким образом, соотношение (2) с учетом равенств (3) и (4) принимает вид:
(7)
а это и есть формула И.С. Громеки.
При доказательстве были получены следующие полезные формулы. Из соотношения (4) следует:
(8)
Из выражения (1):
С помощью формулы Громеки можно получить и такую:
Действительно, т.к. :
Простейшее доказательство формулы Громеки:
Преобразование компоненты при базисном векторе дает:
Аналогичным образом получаем компоненты и при других базисных векторах. В итоге имеем:
Отсюда следует формула Громеки.
Из формул (7) и (8) имеем формулу для конвективного ускорения:
вместо формулы Громеко. Кроме того полезна формула
Из сравнения правых и левых частей двух последних выражений следует:
Кроме формулы И.С. Громеки
(1)
есть и другие полезные формулы.
Так, лапласиан скорости можно представить в виде:
(2)
или, применяя устоявшиеся обозначения:
Докажем эту формулу, выполняя выкладки для :
Распишем подробнее компоненты этого вектора, стоящие у базисных векторов. При базисном векторе выражение имеет вид:
Аналогичные выкладки можно выполнить и для компонент при базисных векторах и . В итоге имеем:
Таким образом, имеем формулу:
или
откуда и следует формула (2).
Запишем, пользуясь соотношениями (1) и (2) уравнение Навье-Стокса для стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости в дивергентном виде. Исходное уравнение имеет вид:
(3)
Представим конвективное слагаемое по формуле Громеки (1), а лапласиан - по формуле (2) а так же учтем, что массовая сила в поле сил тяжести может быть записана через потенциал , величина , если ось направлена вертикально вверх. Тогда вместо (3) запишется:
Для несжимаемой жидкости и это выражение примет вид:
(4)
Т.е. градиент полной энергии жидкой частицы зависит от вихревой структуры потока. Если , то правая часть уравнения (4) обращается в ноль и в результате для всей области течения.
Дивергентный же вид уравнения (3) для несжимаемой жидкости можно получить, учитывая что , используя тождество (2) а так же соотношение
(5)
Тогда уравнение (3) примет форму:
(6)
Отсюда, используя понятия единичного тензора и тензора Леви-Чивита , можно записать слагаемые правой части (6) в дивергентной форме, в результате чего все уравнение Навье-Стокса в целом для установившегося течения несжимаемой жидкости принимает дивергентный вид:
(7)
Последнее слагаемое в скобках можно представить в более простом виде, учитывая, что для несжимаемой жидкости:
где - тензор скоростей деформаций.
Тогда вместо (7) будем иметь из (3):
(8)
Примечание. Сочетание формул (1) и (5) приводит к соотношению:
Тензор, стоящий под знаком дивергенции в квадратных скобках уравнения (8) имеет структуру тензора Лайтхилла, используемого в акустике[].
Еще одна полезная формула для течения жидкости:
которая следует из соотношения (2).