5.2. Багатофакторні індексні моделі

При вивченні функціональних зв’язків між показниками широко використовуються індексні моделі. Основою індексної моделі є мультиплікативний зв’язок між певною множиною показників; один з них розглядається як результат y, інші — як фактори х_і:

y ₌ х₁ х₂ х₃ … х_n .

Послідовність факторів у моделі не може бути довільною, вона визначається економічним змістом показників і методикою їх розрахунку. Кожний наступний фактор-множник розраховується на одиницю попереднього, а отже, добуток будь-якої кількості факторів є економічно змістовною величиною. Наприклад, прибутковість активів компанії y є функцією прибутковості продажу продукції x₁ та оборотності мобільних активів z₁, тобто y ₌ x₁z₁. Оборотність мобільних активів z₁, в свою чергу, є функцією оборотності матеріальних запасів x₂ і частки матеріальних запасів у мобільних активах z₂. Отже, y ₌ x₁ x₂ z₂.

Схематично послідовність розширення моделі можна представити так:

y ₌ x₁ z_{1 =} x₁ x₂ z_{2 =} x₁ x₂ x₃ z₃ і т. д.

Характерною рисою мультиплікативної моделі є взаємозв’я­зок факторів: чисельник розрахункової формули одного фактора є знаменником розрахункової формули наступного. Введення в ланцюгову схему нового фактора означає лише деталізацію функціонального зв’язку і не змінює його сутності. Ступінь деталізації залежить від мети дослідження.

При побудові індексної моделі функція у ₌ x₁ x₂ x₃ ... x_m роз- глядається для двох періодів:

базисного у_{0 =} х₁₀ х₂₀ х₃₀ … х_m0

і поточного у_{1 =} х₁₁ х₂₁ х₃₁ … х_m1.

Абсолютну і відносну зміну показника-функції у можна розкласти за факторами-множниками x_i. Оцінювання ступеня та абсолютного розміру впливу кожного з них на динаміку функції здійснюється в рамках індексної моделі, в якій відтворюються взаємозв’язки між показниками:

Іу ₌ Іх₁ Іх₂ Іх₃ … Ιх_m .

При розрахунку частинного індексу Іх_i необхідно елімінувати вплив інших включених у модель факторів. Задля цього всі фактори-множники, окрім х_i, фіксуються на постійному рівні. Найчастіше фактори, розміщені в ланцюгу зліва від х_i, фіксуються на рівні поточного періоду, а розміщені справа від х_i — на рівні базисного періоду. Скажімо, в моделі у ₌ x₁ x₂ x₃ принцип послідовно-ланцюгового елімінування впливу фактора x₂ реалізується таким чином:

Ιх_{2 =} (х₁₁ х₂₁ х₃₀) : (х₁₁ х₂₀ х₃₀).

За такою ж схемою визначається абсолютний вплив його на у:

А_{2 =} х₁₁ (х₂₁ – х₂₀) х₃₀.

Абсолютний вплив факторів можна визначити з використанням відповідних частинних індексів. При послідовному множенні (за ланцюговою схемою) базисного рівня показника-функції на індекси факторів визначаються розрахункові рівні, тобто такі рівні, які мав би показник у під впливом і-го фактора і при незмінному рівні решти факторів. Якщо базисний його рівень позначити у₀, розрахунковий рівень для першого фактора — у, для другого — у і т. д., то порядок розрахунку абсолютного впливу і-го фактора А_i схематично можна представити так:

Методику побудови багатофакторної індексної моделі розглянемо на прикладі взаємозв’язку показника прибутковості капіталу з індикаторами фінансового стану та платоспроможності підприємства. Для окремої компанії (фірми, корпорації) прибут­ковість капіталу розраховується відношенням чистого прибутку до власного капіталу. Динаміку цього показника можна розкласти за такою множиною факторів:

а — чистий прибуток на одиницю валового обороту (реалізації продукції, послуг);

b — оборотність поточних активів;

с — поточна ліквідність;

d — частка поточних пасивів у залучених коштах (коефіцієнт заборгованості);

f — співвідношення залучених і власних коштів.

Взаємозв’язок між ними має вигляд:

.

Наприклад, прибутковість капіталу умовної фірми становила: в базисному періоді — 115,1%, у поточному — 129,0%, тобто прибутковість зросла на 13,9 процентного пункту, індекс прибутковості — 1,121. Індекси включених у модель факторів-множ­ників і розрахунок внеску кожного з них в абсолютний приріст прибутковості капіталу наведено в табл. 5.1.

Таблиця 5.1

Фактор	Iндекс фактора	Розрахунковий рівень прибутковості	Абсолютний внесок фактора в приріст прибутковості
a	1,057	121,7	+6,6
b	0,986	120,0	–1,7
c	1,012	121,4	+1,4
d	1,025	124,4	+3,0
f	1,037	129,0	+4,6
Разом	Х	Х	+13,9

Абсолютний приріст прибутковості в розмірі 13,9 процентного пункту розкладено за факторами. Всі фактори, окрім оборотності поточних активів, мали позитивний вплив на динаміку прибутковості. З-поміж них найвагоміший вплив фактора а — чистого прибутку на одиницю валового обороту, на другому місці фактор f — співвідношення власних і залучених коштів, на третьому — фактор d — коефіцієнт заборгованості.

Систему взаємозв’язаних показників можна представити у матричному вигляді. На головній діагоналі матриці за певною стратегією розміщуються m абсолютних величин q_i, на основі яких можна визначити m(m – 1) відносних величин , де i ≠ j. Очевидно, що недіагональні елементи, симетрично розташовані щодо головної діагоналі, є оберненими одна до одної величинами, тобто . Система взаємозв’язаних абсолютних і відносних величин утворює квадратну матрицю. Аналогічно cклада­ється матриця індексів.

У табл. 5.2 наведено індексно-матричну модель економічного розвитку умовної країни за певний період. На головній діагоналі розміщено індекси макропоказників (D — національний дохід, M — матеріальні витрати, F — виробничі фонди, T — чисельність зайнятих працівників). Вони ранжовані за економічною нормаллю, згідно з якою темпи зростання кінцевих результатів мають бути вищими за темпи зростання витрат і ресурсів, тобто

I_D > I_M > I_F > I_T .

Таблиця 5.2

Показник нормалі	D	M	F	T
D	1,142
M	Im = 1,005	1,136
F	If = 0,935	In = 0,930	1,222
T	Iq = 1,171	Il = 1,165	Ir = 1,253	0,975

За даними таблиці економічна нормаль порушена у двох ланках: I_M < I_F та I_D < I_F. Значення індексів свідчать про фондоємкий трудозберігаючий тип відтворення. Піддіагональні елементи матриці — це результат бінарних відношень між індексами, на перетині яких знаходиться відповідний елемент. За змістом вони характеризують динаміку показників інтенсивності та ефективності економіки: I_q — продуктивності праці, I_f — фондовіддачі, I_m — матеріаловіддачі, I_r — фондоозброєності праці, I_n — співвідношення матеріальних витрат і вартості основних фондів. Аналізуючи співвідношення цих індексів, можна виявити диспропорції у використанні живої та уречевленої праці.

В індексно-матричній моделі ранжування показників і ступінь їх деталізації цілковито залежить від економічної стратегії та мети дослідження.