4 .1. Основні засади моделювання динаміки

Р яди динаміки характеризують процеси розвитку соціально-економічних явищ. Цим процесам властиві дві взаємопов’язані риси: динамічність та інерційність. Динамічність проявляється змі- ною рівнів і варіації показників, що характеризують процес, інерційність — сталістю механізму формування процесу, напрямку та інтенсивності динаміки протягом певного часу. Поєднуючи ці риси, динамічний ряд у будь-який момент t містить залишки минулого, основи сучасного і зародки майбутнього.

Діалектична єдність мінливості й сталості, динамічності й інерційності формує закономірність розвитку. Під впливом безлічі факторів довгострокової і короткострокової дії в одних рядах рівні протягом тривалого часу зростають або зменшуються з різною інтенсивністю, в інших зростання і зменшення рівнів чергуються з певною періодичністю (наприклад, одинадцятирічні цикли градових опадів, зумовлені циклами сонячної активності). З року в рік більш-менш регулярно повторюються сезонні піднесення і спади (використання виробничих потужностей і робочої сили, попит на ринку споживчих товарів тощо). Окрім закономірних коливань рівнів, динамічним рядам притаманні також випадкові коливання, пов’язані з масовим процесом.

Ряди, в яких рівні коливаються навколо постійної середньої, називаються стаціонарними. Економічні ряди, як правило, нестаціонарні. Для більшості з них характерна систематична зміна рівнів з нерегулярними коливаннями, коли піки і западини чергуються з різною інтенсивністю. Скажімо, економічні цикли (про­мислові, будівельні, фондового ринку тощо) повторюються з різною тривалістю і різною амплітудою коливань. Рисунок 4.1 ілюструє характер динаміки виплат страхового відшкодування VAR2, коливання якого залежать від кількості постраждалих об’єктів. Поквартальні (n = 18) обсяги виплат коливаються від 7,9 до 19,2 млн. грн., на графіку вони представлені відхиленнями від мінімального рівня.

Рис. 4.1. Динаміка виплат страхового відшкодування

При моделюванні динамічних процесів причинний механізм формування властивих їм особливостей у явному вигляді не враховується. Будь-який процес розглядається як функція часу. Певна річ, час не є фактором конкретного соціально-економічного процесу, змінна часу t просто акумулює комплекс постійно діючих умов і причин, які визначають цей процес.

У моделях динаміки процес умовно поділяється на чотири складові:

• довгострокову, детерміновану часом еволюцію — тренд f(t);

• періодичні коливання різних частот С_t;

• сезонні коливання S_t;

• випадкові коливання е_t.

Зв’язок між цими складовими представляється адитивно (сумою) або мультиплікативно (добутком):

y_t = f(t) + С_t + S_t + е_t,

y_t = f(t) С_t S_t е_t.

Така умовна конструкція дає змогу, залежно від мети дослідження, вивчати тренд, елімінуючи коливання, або вивчати коливання, елімінуючи тренд. При прогнозуванні здійснюється зведення прогнозів різних елементів в один кінцевий прогноз.

Характерною властивістю будь-якого динамічного ряду є залежність рівнів: значення y_t певною мірою залежить від попередніх значень: y_t–1, y_t–2 і т. д. Для оцінювання ступеня залежності рівнів ряду використовують коефіцієнти автокореляції r_p з часовим лагом p = 1, 2, …, m.

Коефіцієнт r_p характеризує щільність зв’язку між первинним рядом динаміки і цим же рядом, зсуненим на p моментів. У табл. 4.1 наведено зсунені ряди динаміки з лагами p = 1, 2, 3. Як видно, із збільшенням лага p кількість пар корельованих рівнів зменшується. Так, при p = 1 довжина корельованих рядів менша за первинний ряд на один рівень, при p = 2 — на два рівні і т. д. Через це на практиці при визначенні автокореляційної функції дотримуються правила, за яким кількість лагів .

Таблиця 4.1

Змінна часу t	Рівень ряду yt	p = 1	p = 2	p = 3
1	y1	—	—	—
2	y2	y1	—	—
3	y3	y2	y1	—
…	…	…	…	…
n – 2	yn – 2	yn – 3	yn – 4	yn – 5
n – 1	yn – 1	yn – 2	yn – 3	yn – 4
n	yn	yn – 1	yn – 2	yn – 3

Значення коефіцієнта автокореляції r_p визначається величиною лага p і не виходить за межі ±1:

,

де ; .

Послідовність коефіцієнтів r_p називають автокореляційною функцією і зображують графічно у вигляді автокорелограми з абсцисою p та ординатою r_p. На рис. 4.2 наведено автокореляційну функцію динамічного ряду виплат страхового відшкодування. Функція має вигляд згасаючих коливань — від r₁ = 0,354 до r₉ = 0,007. Точками позначені дві паралельні прямі, що визначають 95%-ні довірчі межі істотності r_p. Якщо r_p не виходить за довірчі межі, ряд вважається стаціонарним.

Рис. 4.2. Автокореляційна функція

За швидкістю згасання автокореляційної функції мож- на зробити висновок про характер динаміки. Найчастіше використовується значення r₁. Характеризуючи ступінь залежності двох послідовних членів ряду, коефіцієнт автокореля- ції є мірою неперервності цього ряду. Якщо r₁  1, то ря- ду динаміки властива тенденція розвитку, якщо r₁  0 — рівні ряду незалежні. Відносно високі значення коефіцієнта автокореляції при p = k, 2k, 3k … cвідчать про регулярні коливання.

На відміну від детермінованої складової випадкова складова не зв’язана iз зміною часу. Аналіз цієї складової є основою перевірки гіпотези про адекватність моделі реальному процесу. За умови, що модель вибрано правильно, випадкова складова являє собою стаціонарний процес з математичним сподіванням M(e) = 0 і дисперсією

,

де m — число параметрів функції.

Для оцінювання стаціонарності випадкової складової використовують циклічний коефіцієнт автокореляції першого порядку r₁. Корелюються ряди залишкових величин:

e₁, e₂, e₃, …, e_n та e₂, e₃, e₄, …, e₁.

Припускаючи, що , формула розрахунку спрощується:

.

Існують таблиці критичних значень циклічного коефіцієнта автокореляції для додатних і від’ємних значень (додаток 7). Якщо фактичне значення r₁ менше за критичне, автокореляція вважається неістотною, а випадкова складова — стаціонарним процесом. У разі, коли фактичне значення r₁ перевищує критичне, можна зробити висновок про неадекватність детермінованої складової реальному процесу.

У системі Statistica моделювання та прогнозування динамічних процесів можна здійснити за процедурами модулів Multiple Regression, Time Series / Forecasting, Nonlinear Estimation. Моделювання трендів і трендова екстраполяція здійснюються за процедурами модулів Multiple Regression та Nonlinear Estimation; комплексний аналіз динамічних процесів, ідентифікація моделей, адаптивне прогнозування — за процедурами модуля Time Series / Forecasting.

Стартова панель модуля Time Series / Forecasting має дві частини: верхню — інформаційну і нижню — функціональну. У функціональній частині стартової панелі представлені методи обробки даних: