• Arima & autocorrelation functions — Модель авторегресії та проінтегрованої ковзної середньої;

• Interrupted time series analysis — Aналіз розірваного динамічного ряду (моделі інтервенції для Arima);

• Exponential smoothing & forecasting — Експоненційне згладжування та прогнозування;

• Seasonal decomposition (1, 2) — Сезонна декомпозиція 1 і 2 (помісячна й поквартальна);

• Distributed lags analysis — Аналіз розподілених лагів (регресійна модель для двох динамічних рядів);

• Spectral (Fourier) analysis — Спектральний (Фур’є) аналіз.

Верхня інформаційна частина стартової панелі містить команди, за допомогою яких відкривається файл даних (Open data) і вибираються ознаки для аналізу (Variables). Одномірний динамічний ряд характеризується однією ознакою у, ім’я та довге ім’я якої висвічуються у вікні стартової панелі, біля імені з’являється символ L. Це означає, що ознака «замкнена на ключ» і її неможливо вилучити.

За необхідності вибрану ознаку можна трансформувати, використовуючи послідовність команд: OK (transformations, auto­correlatіons, crosscorrelations, plots)  OK (Transform highlighted variable)  Transformations of variables. У вікні Тime series transformations пропонується широкий спектр трансформацій динамічного ряду, зокрема:

• Add a constant — додати константу до значень ряду;

• Power — піднести до степеня;

• Inverse power — добути корінь;

• Natural log — логарифмування за основою натурального логарифма;

• Exponent — піднесення до степеня за експонентою;

• Mean subtract — відхилення від середнього рівня;

• Standardize — стандартизація значень ознаки.

Усі варіанти трансформації застосовують послідовно один за одним лише для висвіченої ознаки. В двох останніх варіантах можна вказати середні та стандартні відхилення або визначити їх автоматично, користуючись опцією Estimate mean & std.dev.from data.

Модуль трансформації передбачає усунення лінійного тренда Trend subtract, вводячи його парaметри власноруч або використовуючи команду автоматичного розрахунку Estimate a/b from data. Аналогічно здійснюється усунення автокореляції з відповідним лагом за опцією Autocorr.

У групі опцій Shift relative starting point of series пропонуються варіанти зсунення ряду вперед чи назад на певний лаг. Опція Differencing дає можливість визначити різниці між поточним y_t і зсуненим на лаг p рівнями ряду (y_t – y_{t + p}).

Важливе значення має група опцій Smoothing — згладжування.

Усі трансформації висвічуються в інформаційній частині стартової панелі, максимальна їх кількість — дев’ять. Якщо та чи інша трансформація в подальшому аналізі не використовується, її можна вилучити за командою Delete highlighted variable. Команда Save, навпаки, зберігає визначені ознаки в окремому файлі.

4.2. Типи трендових моделей

Важливою складовою динамічних процесів є тенденція середньої, тобто основний напрям розвитку. В аналізі динамічних рядів тенденцію представляють у вигляді плавної траєкторії та описують певною функцією, яку називають трендом Y_t = f(t), де t = 1, 2, …, n — змінна часу. На основі такої функції здійснюється вирівнювання динамічного ряду і прогнозування подальшого розвитку процесу.

Процедура вирівнювання динамічних рядів включає два етапи: обґрунтування (вибір) типу функції, яка б адекватно описувала характер динаміки, та оцінювання параметрів функції. На практиці переважно використовують функції, параметри яких мають конкретну інтерпретацію залежно від характеру динаміки. Найбільш поширені поліноми (многочлени), різного роду експоненти та логістичні криві. Так, параметри полінома р-го ступеня Y_t = a + bt + ct² + dt³… характеризують:

a — рівень динамічного ряду при t = 0;

b — абсолютну швидкість зміни рівнів ряду (ординат);

2c — прискорення (прирощення абсолютної швидкості);

d — зміну прирощення тощо.

Поліном 1-го ступеня, тобто лінійний тренд Y_t = a + bt, описує процеси, які рівномірно змінюються в часі і мають стабільні прирости ординат. Поліном 2-го ступеня (парабола) Y_t = a + bt + ct² здатний описати процес, характерною особливістю якого є рівноприскорене зростання або зменшення ординат. Форма параболи визначається параметром с: при c > 0 гілки параболи спрямовані вгору — парабола має мінімум, при c < 0 гілки параболи спрямовані вниз — парабола має максимум. При визначенні екстремуму (mах, mіn) похідну параболи прирівнюють до нуля і розв’язують систему рівнянь відносно t. Наприклад, динаміка захворювань при епідемії грипу (чол.) описується параболою Y_t = 264 + 45t – 1,5t². Похідна параболи 45 – 2,25t = 0, а t = 20. Максимум захворювань буде зафіксовано через 20 днів від початку відліку часу (t = 0) і становитиме Y_mах = 264 + 45 ∙ 20 – – 1,5 ∙ 20² = 564 чол. У полінома 3-го ступеня Y_t = a + bt + ct² + + dt³ знак прирощення ординати може змінюватися один чи два рази.

Якщо характерною властивістю процесу є стабільна відносна швидкість (темпи приросту), такий процес описується експонентою, яка може набувати різних еквівалентних форм. Основна (показникова) форма експоненти

Y_t = ab^t ,

де b — середня відносна швидкість зміни ординати: при b > 1 ордината зростає з постійним темпом, при b < 1, навпаки, зменшується. Абсолютний приріст пропорційний досягнутому рівню.

Експоненту можна представити у формі

Y_t = aе^λt або Y_t = e^{a + bt},

де λ = lnb, е = 2,718 — основа натурального логарифма, lnе = 1.

Експоненти приводяться до лінійного виду заміною y_t десятковими або натуральними логарифмами:

lgY = lga + tlgb,

lnY = lna + λt lne = lna + λt,

lnY = lne^a + lne^bt = lna + lnbt = lna + λt.

Оцінювання параметрів трендових рівнянь найчастіше здійснюється методом найменших квадратів (МНК), основною умовою якого є мінімізація суми квадратів відхилень фактичних значень y_t від теоретичних Y_t, визначених за трендовим рівнянням

.

Параметри поліноміального тренда визначаються безпосередньо розв’язуванням систем р + 1 нормальних рівнянь. Експонента, як показано вище, приводиться до лінійного виду логарифмуванням; розраховані параметри підлягають потенцію­ванню.

Побудова трендових моделей МНК є ефективною в модулі Multiple Regression, який детально описано в 5.3. Стартова панель модуля дає можливість відкрити необхідний файл даних і вибрати ознаки для аналізу, а за необхідності трансформувати значення цих ознак.

Як приклад, розглянемо динаміку обороту універсальної біржі VAR1 за 18 місяців (табл. 4.2). Інтенсивне нарощення біржового обороту можна описати експонентою. Для цього обсяги біржового обороту через опцію Current Specs (див. 2.1) замінимо десятковими логарифмами.

У модулі Multiple Regression здійснимо селекцію ознак: незалежна — порядковий номер місяця t, залежна — lgy_t (LOGV1). Після команди на виконання програми ОК вибираємо опцію Regression summary. Параметри моделі наведено в табл. 4.3.

Таблиця 4.2

Порядковий номер місяця, t	Біржовий оборот, млн. грн., VAR1	LOG V1
1	78,4	1,894316
2	81,2	1,909556
3	85,6	1,932474
4	89,4	1,949878
5	93,8	1,972203
6	102,5	2,011147
7	106,2	2,026125
8	112,8	2,052309
9	120,4	2,080626
10	126,3	2,101403
11	130,7	2,116276
12	140,9	2,148911
13	146,7	2,166430
14	153,6	2,186391
15	163,5	2,213518
16	170,6	2,231979
17	179,5	2,254064
18	185,2	2,267641

Таблиця 4.3

Regression Summary for Dependent Variable: LOGV1
Continue…	R = ,9989 RІ = ,9978 Adjusted RІ = ,9977
	F (1,16) = 7384,6 p < ,000 Std. Error of estimate: ,00585
N = 18	BETA	St. Err. of BETA	B	St. Err. of B	t(16)	p-level
Intercpt			1,8670	0,00287	648,5	8,63E-37
LOGV1	0,9989	0,0116	0,0229	0,00027	85,9	9,38E-23

За даними розрахунку експонента має вигляд lgY_t = 1,867 + + 0,0229t, стандартна похибка s_e = 0,00585. Після потенціювання Y_t = 70,6 ∙ 1,054^t. Тобто, біржовий оборот щомісячно зростав у середньому на 5,4%, s_e = 0,0386.

Виявлену тенденцію можна продовжити за межі динамічного ряду. Така процедура називається екстраполяцією тренда. Принципова можливість екстраполяції ґрунтується на припущенні, що умови, які визначали тенденцію у минулому, не зазнають істотних змін у майбутньому. Формально операцію екстраполяції можна представити як визначення функції

Y_{t + v} = f(Y_t^*, v),

де Y_{t + v} — прогнозне значення на період упередження v;

Y_t^* — база екстраполяції, найчастіше це останній, визначений за трендом рівень ряду.

Якщо, скажімо, в червні (t_n = 18) теоретичний рівень біржового обороту становив (млн. грн): Y_t = 70,6 ∙ 1,054¹⁸ = 181,9, то в липні можна очікувати Y_{18 + 1} = 181,9 ∙ 1,054 = 191,7.

У модулі Multiple Regression екстраполяція здійснюється за опцією Predict dependent var. Для цього у вікні Specify dependent for indep. vars. треба вказати значення v.

Екстраполяція тренда дає точковий прогноз. Очевидно, що «влучення в точку» малоймовірне. Адже тренду властива невизначеність, передусім через похибки параметрів. Джерелом цих похибок є обмежена сукупність спостережень y_t, кожне з яких містить випадкову компоненту e_t. Зсунення періоду спостереження лише на один крок веде до зсунення оцінок параметрів. Випадкова компонента буде присутня і за межами динамічного ряду, а отже, її необхідно врахувати. Для цього визначають довірчий інтервал, який би з певною ймовірністю окреслив межі можливих значень Y_t + v. Точковий інтервал перетворюється в інтервальний. Ширина інтервалу залежить від варіації рівнів динамічного ряду навколо тренда та ймовірності висновку (1 – α):

Y_{t + v} ± t_1–α s_p,

де s_p — середня квадратична похибка прогнозу, значення якої залежить від дисперсії тренда та дисперсії відхилень від тренда .

Зокрема, для лінійного тренда

.

Якщо база прогнозування — останній рівень ряду, то , а замінюється на . Після нескладних алгебраїчних перетворень похибку прогнозу за лінійним трендом можна представити так:

або, позначивши підкореневий вираз символом z, s_p = s_e z.

Tобто похибка прогнозу залежить від залишкової дисперсії , довжини динамічного ряду (передісторії) n та періоду упередження v. Чим довший період передісторії, тим похибка менша, а збільшення періоду упередження, навпаки, веде до зростання похибки прогнозу.

При визначенні інтервального прогнозу для лінійного тренда (експоненти) можна скористатися таблицями Є. Четиркіна. У додатку 6 наведено значення z* = t_0,90z для n = 7  25 та v = 1  5. Як бачимо, вони прямо пропорційні періоду упередження v та обернено пропорційні довжині динамічного ряду n.

Скористаємося значеннями z* для визначення довірчих меж прогнозу біржового обороту. При n = 18 і v = 1 значення Z* = 1,9455. Якщо s_e = 0,0384, то похибка прогнозу біржового обороту становить s_p = 0,0384 ∙ 1,9455 = 0,075, а довірчі межі прогнозу на липень 191,7 ± 0,075. Отже, з імовірністю 0,90 можна стверджувати, що в липні оборот біржі буде щонайменше 191,6 млн. і не перевищить 191,8 млн. грн.