4.5. Модель arima

Внутрішня структура динамічного ряду, залежність рівня y_t від попередніх його значень y_t–1, y_t–2, …, y_t–p описується авторегресійною функцією:

y_t = a₁y_t–1 + a₂ y_t–2 + … + a_py_t–p +е_t ,

де р — порядок авторегресії; а_р — коефіцієнт авторегресії.

Процес авторегресії порядку р функціонально зв’язаний з автокореляційною функцією

r_p = a₁r_р–1 + a₂r_р–2 + … + a_p ,

де p = 1, 2, …, m — лаг автокореляції (зсування y_t на p значень назад); r₀ = 1.

Згідно з цим співвідношенням єдиний коефіцієнт авторегресії першого порядку y_t = a₁y_t–1 + е_t дорівнює коефіцієнту автокореляції першого порядку, тобто a₁ = r₁. Для авторегресії другого порядку y_t = a₁y_t–1 + a₂y_t–2 + е_t маємо систему рівнянь

r₁ = a₁ + a₂r₁

r₂ = a₁r₁+ a₂.

Звідси

Отже, коефіцієнт авторегресії, як і коефіцієнт автокореляції, змінюється в межах від –1 до +1.

При моделюванні нестаціонарних за своєю природою економічних процесів авторегресійна функція об’єднується з іншими методами аналізу динаміки: ковзною (експоненційною) середньою, трендом, сезонною хвилею. Об’єднання різних моделей в єдине ціле суттєво розширює сферу практичного їх використання. Окрім того, об’єднані моделі формуються на основі одних і тих же статистичних характеристик — автокореляційних функцій, розробляється один алгоритм розрахунку параметрів моделі і визначення прогнозів. Моделі такого класу називають об’єднани­ми (інтегрованими) моделями авторегресії — ковзної середньої або скорочено ARIMA. Методику їх побудови грунтовно викладено в [2, розділи 4, 9].

У моделі ARIMA рівень динамічного ряду y_t визначається як зважена сума попередніх його значень і значень залишків е_t — поточних і попередніх. Вона об’єднує модель авторегресії порядку р і модель ковзної середньої залишків порядку q. Тренд включається в ARIMA за допомогою оператора кінцевих різниць ряду y_t. У модулі Time Series/Forecasting для цього передбачено процедуру трансформації Differencing (x ₌ x – x(lag)). Так, для фільтрації лінійного тренда використовують різниці першого порядку d_1 = y_t – y_t–1 (лаг ₌ 1), для фільтрації параболічного тренда — різниці другого порядку і т. д. Різниця d має бути стаціонарною.

Вид моделі ARIMA, адекватність її реальному процесу та прогнозні властивості залежать від порядку авторегресії р і порядку ковзної середньої q. Через те ключовим моментом моделювання вважається процедура ідентифікації — обґрунтування виду моделі. В стандартній методиці ARIMA [2] ідентифікація зводиться до візуального аналізу автокорелограм і ґрунтується на принципі економії, за яким (р + q)  2.

Модель ARIMA порядку (р, d, q) досить гнучка і описує широкий спектр несезонних процесів. За наявності сезонних коливань у моделі враховується їх періодичність з лагом s (для квартальних даних s ₌ 4, для помісячних s ₌ 12) і аналогічного змісту параметрами (P, D, Q)_s. Порядок мультиплікативної ARIMA становить (р, d, q)  (P, D, Q)_s. Для ідентифікації моделі у діалоговому вікні Single Series ARIMA передбачено спеціальну групу опцій Arima model parameters — Параметри ARIMA:

p — Autoregressive — параметр авторегресії (регулярний);

P — Seasonal — сезонний параметр авторегресії;

q — Moving average — параметр ковзної середньої (регулярний);

Q — Seasonal — сезонний параметр ковзної середньої.

Необхідно вказати принаймні один із зазначених параметрів. Найпростіші види моделей ARIMA:

(1, 0, 0) — авторегресійна функція;

(0, 0, 1) — ковзна середня;

(1, 0, 1) — комбінована модель авторегресії і ковзної середньої;

(0, 1, 1) — експоненційна середня;

(1, 1, 1) — нестаціонарний процес з лінійним трендом;

(0, 1, 1) ∙ (0, 1, 1) — мультиплікативна модель сезонного процесу.

Практична реалізація моделей можлива лише на рядах довжиною не менше 50 спостережень. Проілюструємо види моделей ARIMA на класичних прикладах [2, додатки: G, B'].

Перший стосується помісячної (n = 131) динаміки перевезень авіапасажирів (у тис.). До первинного ряду застосовано трансформацію Natural Log, а також Difference з лагом 1. Враховуючи сезонність авіаперевезень, зазначимо сезонний лаг 12. Порядок моделі (0, 1, 1) ∙ (0, 1, 1)₁₂. Параметри моделі оцінюються методом максимальної правдоподібності, необхідно лише в нижньому лівому куті діалогового вікна Single series ARIMA задати обчислювальну процедуру: Approximate — наближена чи Exact — точна. За командою Begin parametеr estimation здійснюється ітераційна процедура визначення параметрів моделі і за умови їх прийнятності через команду ОК відкривається вікно результатів оцінювання:

Single Series ARIMA Results

Variable: SERIES_G: Monthly passenger totals (in 1000’s)

Transformations: ln(x),D(1),D(12)

Model: (0,1,1)(0,1,1) Seasonal lag: 12

No.of obs.: 131 Initial SS= .273 Final SS= .183(66,95%) MS = .0014

Parameters (p/Ps-Autoregressive, q/Qs-Moving aver.); p < .05

q(1) Q_s(1)

Estimate: .40182 .55694

Std. Err.: .09069 .07395

Ініціювавши кнопку Parameters estimates, результати аналізу можна отримати у вигляді таблиці. Наприклад, 434-денна динаміка курсу акцій компанії ІВМ описується моделлю ARIMA порядку (0, 1, 1). Значення параметра q(1), його асимптотична стандартна похибка, t-критерій та p-level — фактичний рівень істотності, наведені в табл. 4.6, свідчать про адекватність моделі.

Таблиця 4.6

Input: VAR1(ibm1.sta)
Continue…	Transformations: D(1) Model:(0,1,1) MS Residual=338.95
Param.	Param.	Asympt. Std.Err.	Asуmpt. t (432)	p
q(1)	.60668	.03671	16.52	0.00

Для визначення прогнозів необхідно ініціювати кнопку Fore­cast cases — Прогнозні спостереження. В табл. 4.7 наведено прогнознi рівні курсу акцій ІВМ з 90%-ми довірчими межами на період упередження v = 3.

Таблиця 4.7

Forecasts: Model(0,1,1) Seasonal lag: 12 (ibm1.sta)
Continue…	Input: VAR1 Start of origin: 1 End of origin:434
Case No.	Forecast	Lover 90,0%	Upper 90,0%
435	351,5	321,1	381,8
436	351,5	318,9	384,1
437	351,5	316,7	386,2

Як видно з даних таблиці, точковий прогноз на період упередження не змінюється, проте довірчі межі його розширюються.

Для візуалізації результатів моделювання і прогнозування у діалоговому вікні Single Series ARIMA Results передбачено опції Review and plot variables.

Якщо характер динаміки стрімко змінюється під впливом зовнішніх факторів, то до такого ряду застосовують модель Interrupted ARIMA — Перервана АRIMA.