4.3. Короткострокове прогнозування на основі ковзних середніх

Досить поширеним і простим методом аналізу динаміки є згладжування ряду. Суть його полягає в заміні фактичних рівнів y_t середніми за певними інтервалами. Варіація середніх порівняно з варіацією рівнів первинного ряду значно менша, а тому характер динаміки проявляється чіткіше. Процедуру згладжування називають фільтруванням, а оператори, за допомогою яких вона здійснюється, — фільтрами. На практиці використовують переважно лінійні фільтри, з-поміж яких найпростіший — ковзна середня з інтервалом згладжування m < n. Інтервали поступово зміщуються на один елемент:

y₁, y₂, …, y_m;

y₂, y₃, …, y_m+1;

y₃, y₄, …, y_m+2 і т. д.

Для кожного з них визначається середня , яка припадає на середину інтервалу. Якщо m — непарне число, тобто m = 2р + 1, а ваги членів ряду в межах інтервалу однакові , то

,

де y_і — фактичне значення рівня в і-й момент;

і — порядковий номер рівня в інтервалі.

При парному m середина інтервалу знаходиться між двома часовими точками і тоді проводиться додаткова процедура центрування (усереднення кожної пари значень). Так, за допомогою ковзної середньої згладимо ряд динаміки виплат страхового відшкодування (рис. 4.1). У вікні Time series transformations виберемо опцію N-pts mov.аverg. N = 4, а оскільки m — парне число, то слід передбачити процедуру центрування — Prior. Hа рис. 4.3 ковзну середню представлено ламаною лінією VAR2tmsfrmd(L), амплітуда коливань якої значно менша порівняно з рядом первинних даних.

Ковзна середня з однаковими вагами a_r при згладжуванні динамічного ряду погашає не лише випадкові, а й властиві конкретному процесу періодичні коливання. Припускаючи наявність таких коливань, використовують зважену ковзну середню, тобто кожному рівню в межах інтервалу згладжування надають певну вагу. Способи формування вагової функції різні. В одних випадках ваги відповідають членам розкладання бінома , при m = 3, скажімо, . В інших випадках до даних інтервалу згладжування добирається певний поліном, наприклад, парабола , де і = –p, …, p. Тоді вагова функція така:

для m = 5 ;

для m = 7 і т. д.

Як видно з формул, ваги симетричні відносно центра інтервалу згладжування, сума їх з урахуванням винесеного за дужки множника дорівнює .

Основна перевага ковзної середньої — наочність і простота тлумачення тенденції. Проте не слід забувати, що ряд ковзних середніх коротший за первинний ряд на 2р рівнів, а отже, втрачається інформація про крайні члени ряду. І чим ширший інтервал згладжування, тим відчутніші втрати, особливо нової інформації. Окрім того, маючи спільну основу розрахунку, ковзні середні виявляються залежними, що при згладжуванні значних коливань навіть за відсутності циклів у первинному ряду може вказувати на циклічність процесу (ефект Слуцького).

У симетричних фільтрах стара і нова інформація рівновагомі, а при прогнозуванні важливішою є нова інформація. У такому разі використовують асиметричні фільтри. Найпростіший з них — ковзна середня, яка замінює не центральний, а останній член ряду (адаптивна середня):

.

Рис. 4.3. Ковзна та експоненційна середні виплат страхового відшкодування

У наведеній формулі перший елемент характеризує інерцію розвитку, другий — адаптує середню до нових умов. Таким чином, середня з кожним кроком ніби оновлюється. Ступінь оновлення визначається постійною вагою . При використанні зважених асиметричних фільтрів вагова функція формується з урахуванням ступеня новизни інформації. Такою є середня з експоненційно розподіленими вагами:

,

де Y_t — експоненційна середня, тобто згладжене значення рівня динамічного ряду на момент t; — вага (t – r)-го рівня; a — параметр згладжування, який визначає вагу t-го рівня, значення його коливаються в межах від 0 до 1.

Розклавши формулу за елементами суми, маємо

,

або

.

Друга складова останньої формули є не що інше, як експоненційна середня для (t – 1)-го моменту. Отже, експоненційну середню можна представити як лінійну комбінацію фактичного рівня t-го моменту та експоненційної середньої (t – 1)-го моменту:

.

Чим віддаленіший від t-го моменту рівень ряду, тим менша його відносна вага і вклад у тенденцію. Так, при a = 0,2 ваги становлять: для t-го моменту — 0,2, для (t – 1)-го моменту — 0,2(1 – 0,2) = 0,16; для (t – 2)-го моменту — 0,2(1 – 0,2)² = 0,128 і т. д. Надаючи більшу вагу новій інформації, експоненційна середня адаптується до нових умов, що робить її досить ефективним і надійним методом короткострокового прогнозування.

Для розрахунку експоненційної середньої Y_t необхідно визначити початкові умови: початкову величину Y₀ і параметр a. Як початкову величину можна використати середній рівень за минулий (до динамічного ряду) період, або за відсутності таких даних, перший рівень ряду, тобто Y₀ = y₁. Щодо параметра a, то на практиці найчастіше використовують його значення в інтервалі від 0,1 до 0,3. Оскільки від параметра a залежить сума вагових коефіцієнтів на певному часовому інтервалі m, то можна за наперед заданим значенням цих величин орієнтовно визначити параметр a:

.

Наприклад, якщо часовий інтервал m = 10 місяців, а сума ваг , то . Тобто, при a = 0,2 десять членів динамічного ряду визначать 90% величини експоненційної середньої.

У моніторингу валютного ринку використовують 12-денні й 26-денні експоненційні середні курсових цін закриття з параметрами згладжування відповідно 0,15 і 0,075. Вони розглядаються як швидка і повільна лінії тренда (лінії підтримки та опору). Значне відхилення між цими середніми свідчить про силу тренда, а перетинання дає сигнал про можливі його зміни. Якщо швидка середня перетинає повільну зверху, це сигналізує про народження нового спадного тренда, якщо знизу — про народження зростаючого тренда.

При прогнозуванні процесу вдаються до багаторазового згладжування. Якщо період упередження v = 1, то використовують подвійне згладжування. Експоненційна середня другого порядку визначається за такою ж самою рекурентною формулою на основі згладженого ряду Y_t:

.

Якщо припустити наявність лінійного тренда, прогнозний рівень Y_t+1 можна розрахувати за формулою

.

Для певних значень параметра a ця формула набуває вигляду:

• для a = 0,1 Y_t+1 =2,111Y_t – 1,111 ;

• для a = 0,2 Y_t+1 =2,250Y_t – 1,250 ;

• для a = 0,3 Y_t+1 =2,429Y_t – 1,429 .

Довірчі межі прогнозного рівня визначаються традиційно:

,

де — дисперсія рівнів первинного динамічного ряду; t — квантиль розподілу Стьюдента для ймовірності (1 – α).

Очевидно, що за умови значної варіації рівнів динамічного ряду довірчі межі будуть досить широкими.

Проведемо експоненційне згладжування ряду динаміки виплат страхового відшкодування. На стартовій панелі модуля Time Series Analysis ініціюємо кнопку процедури Exponential Smoothing & Forecasting. У вікні Seasonal end non-seasonal exponential smoothing вибираємо установки без сезонної компоненти — None, зазначаємо вид тренда — Linear trend і період упередження Forecast — 3. Результати експоненційного згладжування ряду ілюструються на рис. 4.3. Експоненційна середня позначена пунктирною лінією Smoothed series (L). За межами динамічного ряду представлені прогнозні рівні для періоду упередження v:

v = 1	v = 2	v = 3
19,1	19,6	20,0

Базову модель експоненційного згладжування можна використати при моделюванні рядів, які мають сезонну компоненту.