1.4. Системи числення з ірраціональними основами

У спеціалізованих обчислювальних засобах знаходять застосування двійково-кодовані системи числення з ірраціональними основами, до яких відносять так звані р-коди Фібоначчі і коди “золотої” р-пропорції. При цьому р-кодом Фібоначчі називають представлення числа у вигляді

,

де – двійкова цифра в і-му розряді, - вага -го розряду, визначена як

Таким чином, вага залежить як від його позиції в записі числа, так і від параметра р.

Якщо р=0, то р-код Фібоначчі збігається з представленням числа в двійковій канонічній системі числення

У випадку р=1 код Фібоначчі відповідає системі числення зі штучним порядком ваг, а саме: 1,1,2,3,5,8,13, 21,34,... У цій послідовності будь-яка вага дорівнює сумі двох попередніх ваг.

Якщо р=2, то послідовність ваг р-коду Фібоначчі має вигляд 1,1,1,2,3,4,6, 9,13,19,28,... .

При подібна послідовність складається з р одиниць, після яких слідує натуральний ряд чисел. Як і в інших системах зі штучним порядком ваг, представлення чисел р-кодами Фібоначчі не є однозначним. До числа основних достоїнств кодів Фібоначчі слід віднести і підвищення швидкодії при виконанні деяких типів операцій і зручність організації контролю правильності їхнього виконання.

Кодом “золотої” р-пропорції називають представлення числа у вигляді

де – двійкова цифра в -му розряді, - вага -го розряду, причому

.

Наведене представлення задає нескінченне число способів нумерації дійсних чисел, тому що кожному тут відповідає свій спосіб нумерації. Ваги розрядів у такому представленні зв'язані з вагами розрядів у -кодах Фібоначчі наступним співвідношенням

.

Звідси при р=0 випливає , тобто, код “золотий’ -пропорції відповідає в цьому випадку двійковій позиційній однорідній системі числення. При р>0 значення є ірраціональним числом. Зокрема для р=1

Це число було відоме ще древнім грекам з розв’язання задачі про поділ відрізка в середнім і крайнім відношеннях. У середні віки таке пропорційне відношення було названо “золотим”. Цим і пояснюється походження назви кодів. Подібно -кодам Фібоначчі особливістю кодів “золотий” -пропорції є неоднозначність представлення дійсних чисел, за винятком нуля. Крім того, при р>0 поняття цілого і дробового числа в таких кодах не збігаються з загальноприйнятими. Наприклад, ціле число 3 у коді “золотої” 1-пропорції зображується як 100,01, а ірраціональне число при будь-якому р>0 зображується так само, як і основа числення в канонічній двійковій системі, тобто, як 10.

1.5. Питання для самоконтролю

1. Дайте означення системи числення, основи систем числення та кількісного еквіваленту числа.

2. Дайте означення непозиційної та позиційної систем числення. Наведіть приклади.

3. Дайте означення неоднорідної та однорідної систем числення. Запишіть формули подання чисел в цих системах. Наведіть приклади.

4. Яку величину прийнято називати вагою розряду для непозиційної та позиційної систем числення?

5. Дайте означення канонічної системи числення. Що є обов’язковим для таких системи?

6. Дайте характеристику симетричним, зміщеним та кососиметричним канонічним системам. Наведіть приклади.

7. Дайте характеристику надлишковим, квазіканонічним, модифікованим квазіканонічним та неканонічній двійковій системам. Наведіть приклади.

8. Дайте означення кодованої позиційної системи числення. Запишіть формули подання чисел в цій системі. Наведіть приклади.

9. Дайте характеристику кодованої системами числення з природними та зі штучними ваговими коефіцієнтами розрядів. Наведіть приклади.

10. Який код називається самодоповнюючимся? Наведіть приклади.

11. Дайте тлумачення властивостям двійково-десяткових кодів: зваженості, упорядкованості, парності, доповнюваності й однозначності (властивості Рутисхаузера) та назвіть деякі двійково-десяткові коди, що володіють такими властивостями.

12. Дайте характеристику систем числення спеціального призначення. Наведіть приклади.

13. Дайте характеристику систем числення спеціального призначення з символами: –1, 0, +1.

14. Дайте характеристику символічної системи числення СЗК (системи залишкових класів).